РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 510714 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр;

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2013.

Стереометрическая задача. Сечения пирамид

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 16.

а)  Докажите, что прямые MC и BD перпендикулярны.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.

Решение. а)  Спроектируем прямую MC на плоскость ABCD, проекцией будет являться прямая AC. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому $AC\perp BD.$ Тогда по теореме о трех перпендикулярах $MC\perp BD.$

б)  Пусть точка E  — середина ребра MD. Отрезок BE пересекает плоскость MAC в точке P. В треугольнике MBD точка Р является точкой пересечения медиан, следовательно, MP : РО  =  2 : 1, где O  — центр основания пирамиды. Отрезок FG параллелен AC и проходит через точку P (точка F принадлежит ребру MA, G  — ребру MC), откуда

$MF : FA = MG : GC = MP : PO = 2 : 1,$

$FG= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби AC = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на AB, знаменатель: 3 конец дроби = 10 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Четырёхугольник BFEG  — искомое сечение. Отрезок BE  — медиана треугольника MBD, значит,

$BE= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2BD в квадрате плюс 2MB в квадрате минус MD в квадрате конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 4AB в квадрате плюс MB в квадрате конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = 17.$

Прямая BD перпендикулярна плоскости MAC, диагонали BE и FG четырёхугольника BFEG перпендикулярны. Следовательно,

$S_BFEG = дробь: числитель: BE умножить на FG, знаменатель: 2 конец дроби = 85 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Ответ: $85 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Источники:

ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр;

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2013.

Ключ