PDF-версии: 
Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 8. Высота этой призмы равна 6.
а) Докажите, что плоскость, содержащая прямую AB1 и параллельная прямой CA1 проходит через середину ребра BC.
б) Найти угол между прямыми CA1 и AB1.
Решение. Достроим треугольную прямую призму до четырехугольной прямой призмы, в основании которой ромб ABDC, составленный из двух равносторонних треугольников.
Полученная призма является прямым параллелепипедом. Поэтому 
а) Плоскость 
параллельна прямой 
по признаку параллельности. Диагонали ромба ABDС пересекают друг друга посередине, поэтому плоскость проходит через середину ребра BC.
б) 
значит, искомый угол 
Рассмотрим ромб ABDC: площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба 
С другой стороны, площадь ромба можно найти как полупроизведение длин его диагоналей: 
следовательно, 
Из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора находим: 
Аналогично 
Значит, из равнобедренного треугольника
получаем
Примечание 1.
Диагональ ромба можно было найти по теореме косинусов для треугольника ABD.
Примечание 2.
Для нахождения угла можно применить в треугольнике теорему косинусов:
откуда 
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или