До­стро­им тре­уголь­ную пря­мую приз­му до че­ты­рех­уголь­ной пря­мой приз­мы, в ос­но­ва­нии ко­то­рой ромб ABDC, со­став­лен­ный из двух рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков.

По­лу­чен­ная приз­ма яв­ля­ет­ся пря­мым па­рал­ле­ле­пи­пе­дом. По­это­му

а)  Плос­кость па­рал­лель­на пря­мой по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти. Диа­го­на­ли ромба ABDС пе­ре­се­ка­ют друг друга по­се­ре­ди­не, по­это­му плос­кость про­хо­дит через се­ре­ди­ну ребра BC.

б)   зна­чит, ис­ко­мый угол Рас­смот­рим ромб ABDC: пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию квад­ра­та его сто­ро­ны на синус угла ромба С дру­гой сто­ро­ны, пло­щадь ромба можно найти как по­лу­про­из­ве­де­ние длин его диа­го­на­лей: сле­до­ва­тель­но,

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим: Ана­ло­гич­но Зна­чит, из рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка

по­лу­ча­ем

При­ме­ча­ние 1.

Диа­го­наль ромба можно было найти по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABD.

При­ме­ча­ние 2.

Для на­хож­де­ния угла можно при­ме­нить в тре­уголь­ни­ке тео­ре­му ко­си­ну­сов:

от­ку­да

Ответ: или

Рас­смот­рим приз­му в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб ABDC. Эта приз­ма яв­ля­ет­ся пря­мым па­рал­ле­ле­пи­пе­дом. По­это­му

а)  Таким об­ра­зом, плос­кость Эта плос­кость пе­ре­се­ка­ет плос­кость по пря­мой Диа­го­на­ли ромба ABDC де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам, а это то, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Ис­ко­мый угол это угол Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим: Ана­ло­гич­но, В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABD имеем зна­чит, сто­ро­на Тогда, в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке

Ответ: