Ясно, что долж­но де­лить­ся на Слу­чай n = 1 не под­хо­дит, а про­стых де­ли­те­лей, мень­ших, чем 5, число не имеет. Сле­до­ва­тель­но, Тогда де­лит­ся на 5 и по­это­му в ра­вен­стве пра­вая часть де­лит­ся на 5, по­это­му левая часть тоже де­лит­ся на 5. Зна­чит, n де­лит­ся на 5. Пред­по­ло­жим, что где Тогда после де­ле­ния на 5 дан­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид:

Левая часть де­лит­ся на 5, пра­вая не де­лит­ся, про­ти­во­ре­чие. Оста­лось рас­смот­реть слу­чай Урав­не­ние при­ни­ма­ет вид: от­ку­да Ясно, что и не удо­вле­тво­ря­ют по­лу­чен­но­му ра­вен­ству, а при обе части равны 25. Остаётся до­ка­зать что бо́льших под­хо­дя­щих зна­че­ний k нет. Рас­смот­рим по­сле­до­ва­тель­ность и раз­ность

При эта раз­ность по­ло­жи­тель­на, сле­до­ва­тель­но, по­сле­до­ва­тель­ность воз­рас­та­ет. Зна­чит, если то а по­это­му

Ответ:

Ясно, что долж­но де­лить­ся на Слу­чай n=1 не под­хо­дит, а про­стых де­ли­те­лей, мень­ших, чем 7, число не имеет. Сле­до­ва­тель­но, Тогда де­лит­ся на 7 и по­это­му в ра­вен­стве пра­вая часть де­лит­ся на 7, по­это­му левая часть тоже де­лит­ся на 7. Зна­чит, n де­лит­ся на 7. Пред­по­ло­жим, что где Тогда после де­ле­ния на 7 дан­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид:

Левая часть де­лит­ся на 7, пра­вая не де­лит­ся, про­ти­во­ре­чие. Оста­лось рас­смот­реть слу­чай Урав­не­ние при­ни­ма­ет вид: от­ку­да Ясно, что и не удо­вле­тво­ря­ют по­лу­чен­но­му ра­вен­ству, а при обе части равны 343. Остаётся до­ка­зать что бо́льших под­хо­дя­щих зна­че­ний k нет. Рас­смот­рим по­сле­до­ва­тель­ность и раз­ность

При эта раз­ность по­ло­жи­тель­на, сле­до­ва­тель­но, по­сле­до­ва­тель­ность воз­рас­та­ет. Зна­чит, если то а по­это­му

Ответ:

Ясно, что то есть долж­но де­лить­ся на В слу­чае n = 1, пра­вая часть равна 0, чего быть не может.

При n = 2, по­лу­чим Это озна­ча­ет, что четно, что воз­мож­но толь­ко при не­чет­ном k, а что воз­мож­но толь­ко при чет­ном k. По­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие.

Таким об­ра­зом, а число не имеет про­стых де­ли­те­лей, мень­ших чем 3. Тогда де­лит­ся на 3, по­это­му в ра­вен­стве пра­вая часть де­лит­ся на 3. Тогда и левая часть тоже де­лит­ся на 3. Зна­чит, n де­лит­ся на 3. Пусть где Тогда после де­ле­ния на 3 дан­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид:

Левая часть де­лит­ся на 3, пра­вая не де­лит­ся  — про­ти­во­ре­чие. Оста­лось рас­смот­реть слу­чай урав­не­ние при­ни­ма­ет вид Ясно, что не удо­вле­тво­ря­ет по­лу­чен­но­му ра­вен­ству, а при обе части равны 21. Остаётся до­ка­зать, что бо́льших под­хо­дя­щих зна­че­ний k нет. Рас­смот­рим по­сле­до­ва­тель­ность и раз­ность

При раз­ность по­ло­жи­тель­на, сле­до­ва­тель­но, по­сле­до­ва­тель­ность воз­рас­та­ет. Зна­чит, если то а по­это­му   — един­ствен­ное ре­ше­ние.

Ответ: