Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 505808
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние 2 синус в квад­ра­те x плюс синус в квад­ра­те 2x= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 2 ко­си­нус 2x.

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)   Решим урав­не­ние:

2 синус в квад­ра­те x плюс синус в квад­ра­те 2x= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 2 ко­си­нус 2x рав­но­силь­но 1 минус ко­си­нус 2x плюс 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те 2x минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 ко­си­нус 2x=0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те 2x минус ко­си­нус 2x минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус 2x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка ко­си­нус 2x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но ко­си­нус 2x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 2x=\pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z .

Урав­не­ние ко­си­нус 2x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ре­ше­ний не имеет.

б)  Вы­бор­ка кор­ней.

Из серии дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z :

минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи n мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но минус 9 мень­ше или равно 2 плюс 6n мень­ше или равно 3 рав­но­силь­но минус 11 мень­ше или равно 6n мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но минус 1 минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно n мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка n= минус 1, новая стро­ка n=0. конец со­во­куп­но­сти .

При n= минус 1 x_1= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус Пи = минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; при n=0 x_2= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Из серии минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z :

минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи n мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но минус 9 мень­ше или равно минус 2 плюс 6n мень­ше или равно 3 рав­но­силь­но минус 7 мень­ше или равно 6n мень­ше или равно 5 рав­но­силь­но минус 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно n мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка n= минус 1, новая стро­ка n=0. конец со­во­куп­но­сти .

При n= минус 1 x_3= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус Пи = минус дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; при n=0 x_4= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а) \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z . б) минус дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 505658: 505808 506008 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 76
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: По­ни­же­ние по­ряд­ка три­го­но­мет­ри­че­ско­го урав­не­ния, Фор­му­лы по­ло­вин­но­го ар­гу­мен­та, Груп­пи­ров­ка, Фор­му­лы двой­но­го угла
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025