Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 506008
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние ко­си­нус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс синус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка x= дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ко­си­нус 2x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

б)   Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Раз­ло­жим левую часть урав­не­ния как сумму кубов двух вы­ра­же­ний. А затем не­пол­ный квад­рат раз­но­сти двух вы­ра­же­ний до­пол­ним до квад­ра­та суммы:

ко­си­нус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс синус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка x= левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те x плюс синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус ко­си­нус в квад­ра­те x умно­жить на синус в квад­ра­те x плюс синус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =

 

= ко­си­нус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус ко­си­нус в квад­ра­те x умно­жить на синус в квад­ра­те x плюс синус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x= левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 2 ко­си­нус в квад­ра­те x умно­жить на синус в квад­ра­те x плюс синус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 ко­си­нус в квад­ра­те x умно­жить на синус в квад­ра­те x=

 

= левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те x плюс синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 3 ко­си­нус в квад­ра­те x умно­жить на синус в квад­ра­те x = 1 минус 3 ко­си­нус в квад­ра­те x умно­жить на синус в квад­ра­те x.

Итак, за­дан­ное урав­не­ние рав­но­силь­но урав­не­нию: 1 минус 3 ко­си­нус в квад­ра­те x умно­жить на синус в квад­ра­те x= дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ко­си­нус 2x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Пре­об­ра­зу­ем по­след­нее урав­не­ние, ис­поль­зуя фор­му­лы по­ни­же­ния сте­пе­ни си­ну­са и ко­си­ну­са:

1 минус 3 ко­си­нус в квад­ра­те x умно­жить на синус в квад­ра­те x= дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ко­си­нус 2x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ко­си­нус 2x=0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ко­си­нус 2x=0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те 2x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ко­си­нус 2x=0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но 4 минус 2 плюс 2 ко­си­нус в квад­ра­те 2x минус 5 ко­си­нус 2x=0 рав­но­силь­но 2 ко­си­нус в квад­ра­те 2x минус 5 ко­си­нус 2x плюс 2=0 рав­но­силь­но ко­си­нус 2x= дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 минус 16 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ко­си­нус 2x= дробь: чис­ли­тель: 5\pm 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но ко­си­нус 2x=2 (урав­не­ние ре­ше­ний не имеет).

 

ко­си­нус 2x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 2x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z .

б)  

 

x_1= минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , x_2= минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , x_3= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , x_4= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , x_5= Пи минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

 

Ответ: а) \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z . б) минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ;\pm дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 505658: 505808 506008 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 28
Классификатор алгебры: Ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство и его след­ствия, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус, Урав­не­ния выс­ших сте­пе­ней, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Фор­му­лы по­ло­вин­но­го ар­гу­мен­та, Фор­му­лы по­ни­же­ния сте­пе­ни, Груп­пи­ров­ка, Фор­му­лы двой­но­го угла
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025