Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д5 C1 № 506008

а) Решите уравнение {{ косинус } в степени 6 }x плюс {{ синус } в степени 6 }x= дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 косинус 2x минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

б) Найдите все корни на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 ; Пи правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Разложим левую часть уравнения как сумму кубов двух выражений. А затем неполный квадрат разности двух выражений дополним до квадрата суммы:

{{ косинус } в степени 6 }x плюс {{ синус } в степени 6 }x= левая круглая скобка {{ косинус } в степени 2 }x плюс {{ синус } в степени 2 }x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка {{ косинус } в степени 4 }x минус {{ косинус } в степени 2 }x умножить на {{ синус } в степени 2 }x плюс {{ синус } в степени 4 }x правая круглая скобка =

 

= {{ косинус } в степени 4 }x минус {{ косинус } в степени 2 }x умножить на {{ синус } в степени 2 }x плюс {{ синус } в степени 4 }x=({{ косинус } в степени 4 }x плюс 2{{ косинус } в степени 2 }x умножить на {{ синус } в степени 2 }x плюс {{ синус } в степени 4 }x) минус 3{{ косинус } в степени 2 }x умножить на {{ синус } в степени 2 }x=

 

={{({{ косинус } в степени 2 }x плюс {{ синус } в степени 2 }x)} в степени 2 } минус 3{{ косинус } в степени 2 }x умножить на {{ синус } в степени 2 }x = 1 минус 3{{ косинус } в степени 2 }x умножить на {{ синус } в степени 2 }x.

Итак, заданное уравнение равносильно уравнению: 1 минус 3{{ косинус } в степени 2 }x умножить на {{ синус } в степени 2 }x= дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 косинус 2x минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

Преобразуем последнее уравнение, используя формулы понижения степени синуса и косинуса:

1 минус 3{{ косинус } в степени 2 }x умножить на {{ синус } в степени 2 }x= дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 косинус 2x минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 равносильно дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 минус 3 умножить на дробь, числитель — 1 плюс косинус 2x, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 1 минус косинус 2x, знаменатель — 2 минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 косинус 2x=0 равносильно

 

 равносильно дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 минус дробь, числитель — 1 плюс косинус 2x, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 1 минус косинус 2x, знаменатель — 2 минус дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 косинус 2x=0 равносильно дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 минус дробь, числитель — 1 минус {{ косинус } в степени 2 }2x, знаменатель — 4 минус дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 косинус 2x=0 равносильно

 

 равносильно 4 минус 2 плюс 2{{ косинус } в степени 2 }2x минус 5 косинус 2x=0 равносильно 2{{ косинус } в степени 2 }2x минус 5 косинус 2x плюс 2=0 равносильно косинус 2x= дробь, числитель — 5\pm корень из { 25 минус 16}, знаменатель — 4 равносильно

 

 равносильно косинус 2x= дробь, числитель — 5\pm 3, знаменатель — 4 равносильно косинус 2x=2 (уравнение решений не имеет).

 

 косинус 2x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 равносильно 2x=\pm дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи n,n принадлежит Z равносильно x=\pm дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс Пи n,n принадлежит Z .

б)

 

{{x}_{1}}= минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 = минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 6 , {{x}_{2}}= минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 6 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 = минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 6 , {{x}_{3}}= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 , {{x}_{4}}= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 , {{x}_{5}}= Пи минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 = дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 6 .

 

Ответ: а) \pm дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс Пи n,n принадлежит Z . б)  минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 6 ;\pm дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 6 ; \pm дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б.

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 505658: 505808 506008 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 28.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения высших степеней
Методы алгебры: Формулы половинного аргумента, Формулы понижения степени