РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д15 C4 № 505787 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 72

Методы геометрии: Свойства медиан, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружности, Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Четырёхугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями

Сложная планиметрия. Комбинации фигур

В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M.

а)  Докажите, что EM  — медиана треугольника CED.

б)  Найдите EM, если AD  =  8, AB  =  4 и угол CDB  =  60°.

Решение. а)  Пусть H  — точка пересечения прямой EM и отрезка AB. Заметим, что $\angle BDC=\angle BAC$ (опираются на дугу BC), $\angle BAC=90 градусов минус \angle AEH=\angle HEB=\angle DEM$ (как вертикальные), отсюда $\angle BDC=\angle DEM,$ то есть треугольник DEM равнобедренный. Далее $\angle MEC=90 градусов минус \angle MED=90 градусов минус \angle EDM=\angle ECM,$ поэтому треугольник EMC тоже равнобедренный. Итак, $DM=EM=CM,$ значит, EM  — медиана CDE.

б)  Поскольку DEM  — равнобедренный (см. п.а) треугольник с углом 60°, то он равносторонний. Далее, $\angle EAB=60 градусов,$ и поэтому в треугольнике EAB имеем $AE= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби =2.$ Тогда $EM=DE= корень из: начало аргумента: AD в квадрате минус AE в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 8 в квадрате минус 2 в квадрате конец аргумента =2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$

Ответ: $2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: $2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$

505787

$2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 72

Методы геометрии: Свойства медиан, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505787	$2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$