Ре­ше­ние. а)  Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, пусть M, H, N  — точки ка­са­ния. Ка­са­тель­ные, про­ведённые к окруж­но­сти из одной точки, равны: AM  =  AN, CM  =  CH, HB  =  BN. По­это­му

от­ку­да p  =  AM, где Р  — пе­ри­метр, p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка.

б)  Для опре­де­ле­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ис­поль­зу­ем фор­му­лу, свя­зы­ва­ю­щую её с по­лу­пе­ри­мет­ром, сто­ро­ной и ра­ди­у­сом внев­пи­сан­ной окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся этой сто­ро­ны и про­дол­же­ний двух дру­гих сто­рон тре­уголь­ни­ка:

Ответ:

При­ме­ча­ние.

При­ме­нен­ная в пунк­те  б) фор­му­ла может быть по­лу­че­на из сле­ду­ю­щих со­об­ра­же­ний: где O₁  — центр окруж­но­сти с ра­ди­у­сом r_1. При этом тогда

А по­то­му