РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

а)  Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б)  Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в)  Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

Решение. а)  Например числа 2006 и 8 имеют одинаковую сумму цифр и в сумме дают 2014.

б)  Предположим, что число 199 можно представить в виде суммы двух натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. Пусть одно из этих чисел состоит из a сотен, b десятков и c единиц. Тогда другое число состоит из 1 − a сотен, 9 − b десятков и 9 − c единиц. Суммы цифр этих чисел равны a + b + c и 19 − a − b − c соответственно. Они имеют разную чётность и не могут быть одинаковыми.

в)  Наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой фиксированной суммой цифр, равно сумме пяти наименьших чисел с этой суммой цифр.

Для сумм 1, 2, 3 и 4 имеем соответственно:

$1 плюс 10 плюс 100 плюс 1000 плюс 10000=11111,$

$2 плюс 11 плюс 20 плюс 101 плюс 110=244,$

$3 плюс 12 плюс 21 плюс 30 плюс 102=168,$

$4 плюс 13 плюс 22 плюс 31 плюс 40=110.$

Если сумма цифр равна 5 или больше, обозначим её через a. Тогда наименьшее из таких чисел − как минимум a. Числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому идут минимум через 9. Значит, их сумма не меньше чем

$a плюс левая круглая скобка a плюс 9 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 18 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 27 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 36 правая круглая скобка =5a плюс 90\geqslant115.$

Получаем, что искомое число равно 110.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  110.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505503	а)  да; б)  нет; в)  110.

Ключ