PDF-версии: 
Окружность радиуса 
вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 16. Найдите MN.
Решение. Пусть O1 — центр окружности радиуса
O2 — центр второй окружности, A — вершина прямого угла, тогда 
Возможны два случая.
Первый случай.
Точка O1 лежит между точками A и O2 (рис. 1), тогда
откуда радиус второй окружности 
В треугольнике O1MO2 имеем O1O2 = 16, 
Поскольку общая хорда MN окружностей перпендикулярна линии центров O1O2 и делится ею пополам, высота MH треугольника O1MO2, равна половине MN.
В треугольнике O1MO2, полупериметр
откуда
Второй случай.
Точка O2, лежит между точками A и O1 (рис. 2), тогда O2A = O1A − O1O2 = 8, откуда радиус второй окружности 
В треугольнике O1MO2 имеем O1O2 = 16, 
Аналогично первому случаю, высота MH треугольника O1MO2, равна половине MN.
В треугольнике O1MO2, полупериметр
откуда
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |