PDF-версии: 
На ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE : EC1 = 1 : 2.
а) Пусть точка F делит ребро BB1 в отношении 1 : 2, считая от вершины B1. Докажите, что угол между прямыми BE и AC1 равен углу AC1F.
б) Найдите угол между прямыми BE и AC1.
Решение. Примем ребро куба за a. Тогда
Поскольку 
получаем:
а) Проведем прямую FC1 и заметим, что CE = FB1, следовательно, треугольники BCE и C1FB1 равны. Тогда прямые BE и FС1 параллельны как стороны равных треугольников с двумя параллельными сторонами. Таким образом, угол между прямыми BE и AC1 равен углу между прямыми FС1 и AC1, то есть равен углу AC1F (этот угол является острым углом тупоугольного треугольника AC1F).
б) В прямоугольном треугольнике 
с прямым углом 
имеем:
В прямоугольном треугольнике ABF с прямым углом B имеем:
В треугольнике 
получаем:
откуда
Тогда 
Ответ может быть представлен и в другом виде: 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |