Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Группу школьников нужно перевези из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа А за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа В за несколько рейсов, причем в этом случае число рейсов каждого автобуса типа В будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа А. В каждом из случаев автобусы заполняются полностью.
Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа В входит на 7 человек меньше, чем в автобус типа А?
то получаем 
а всего школьников 504.
то школьников 420;
то школьников 420;
то школьников 504;
то школьников 540;
то школьников 816;
то школьников 1980.Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 99 см, но не больше 102 см (назовем такие куски стандартными).
а) Некоторый моток веревки разрезали на 33 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?
б) Найдите такое наименьшее число l, что любой моток веревки, длина которого больше l см, можно разрезать на стандартные куски.
или 
(неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на n стандартых кусков, тогда, при 
получаем 
стандартных куска.
получаем 
Значит, эту веревку можно разрезать на 33 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков.
и 
являющиеся решениями неравенств 
имеют общие точки для всех n, при которых 
то есть при 
Значит, любую веревку длиной 
см или более можно разрезать на стандартные куски.
см, но меньше 
При 
получаем 
что противоречит условию 
При 
получаем 
что противоречит условию 
Таким образом, искомое число равно 3267.В стране Дельфиния установлена следующая система подоходного налога (денежная единица Дельфинии ― золотые):
| Заработок (в золотых) | Налог (в %) |
|---|---|
| 1 — 100 | 1 |
| 101 — 400 | 20 |
| Более 400 | 50 |
а) Два брата заработали в сумме 1000 золотых. Как им выгоднее всего распределить эти деньги между собой, чтобы в семье осталось как можно больше денег после налогообложения? При дележе каждый получает целое число золотых.
б) Как выгоднее всего распределить те же 1000 золотых между тремя братьями, при условии, что каждый также получит целое число золотых?
золотых, то второй получит 
В этом случае первый брат заплатит налог 
а второй ― 
Следовательно, общая сумма, которая останется у братьев после налогообложения 
золотых.
золотых, значит, они оба заплатят налог 
и тогда в сумме у них останется 
золотых.
Тогда его брат получит 
золотых, причем это число будет больше 
Значит, первый брат заплатит налог 
а второй ― 
золотых. Очевидно, что чем больше x, тем больше данная сумма. Значит, следует выбрать наибольшее возможное значение x, то есть 
золотых, что больше, чем в первом и во втором случаях.Имеется 33 коробки массой 19 кг каждая и 27 коробок массой 49 кг каждая. Все эти коробки раскладываются по двум контейнерам. Пусть S — модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найдите наименьшее значение S:
а) если дополнительно требуется, что в контейнерах должно находиться одинаковое количество коробок;
б) без дополнительного условия пункта а.
Во втором контейнере лёгких коробок получается 
а тяжёлых коробок: 
является нечётным и принимает наименьшее возможное значение 1 при 
или 
Следовательно, наименьшее значение S равно 30.
и 
лёгких и тяжёлых коробок соответственно. Имеем:
то
вариантов. Вообще, исчерпывающий перебор конечного числа вариантов — это полноценное решение задачи! Но мы, естественно, таким путём не пойдём и поищем способ избежать прямого перебора.
Значит, и слагаемое 5x даёт остаток 2 (ведь остальные слагаемые в левой части делятся на 7). Какой остаток при этом даёт сам x? Перебор остатков от 0 до 6 показывает, что единственная возможность — это остаток 6, то есть
Значит, и 5k даёт остаток 4. Тогда k может давать только остаток 5:
в 
получим: 
Таким образом, оказывается, что 
— вопреки первому неравенству.
Равенство достигается, например, в случае x = 23 и y = 11:
Назовем кусок веревки стандартным, если его длина не меньше 168 см, но не больше 175 см.
а) Некоторый моток веревки разрезали на 24 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?
б) Найдите такое наименьшее число l, что любой моток веревки, длина которого больше l см, можно разрезать на стандартные куски.
А так как не все куски имеют одинаковую длину, неравенство является строгим: 
Итак,
и 
Поэтому 
и мы получаем новое двойное неравенство для L:
стандартных кусков одинаковой длины. Тогда имеем неравенство
где 
Разрежем моток на 24 куска одинаковой длины; тогда длина d одного куска равна:
С другой стороны,
так что куски являются стандартными. Следовательно, данный моток разрезается самое большее на 24 одинаковых стандартных куска.
называем стандартным. Нам надо найти такое наименьшее число l, что любое число 
можно представить в виде суммы стандартных слагаемых.
Обозначим его n0:
Покажем, что найдётся 
не представимое в виде суммы стандартных слагаемых. Возьмём L таким, что 
Иными словами, мы выбираем число L, одновременно удовлетворяющее двум условиям:
из второго условия следует неравенство 
Отсюда и из неравенства следует, что одновременно выполнены неравенства 
и 
Полученное противоречие показывает, что L нельзя представить в виде суммы стандартных
Покажем, что любое число 
Поскольку выполнено 
имеем 
Отсюда в соответствии с определением числа n0 заключаем, что 
Это даёт нам неравенство
Тогда 
Пройти тестирование по этим заданиям