Тип А: 2 автобуса; n − рейсов каждый; m + 7 − человек в автобусе

Тип В: 3 автобуса; n − 1 − рейс; m − человек

Следовательно надо найти делители 42:

Если то получаем а всего школьников 504.

Если то школьников 420;

Если то школьников 420;

Если то школьников 504;

Если то школьников 540;

Если то школьников 816;

Если то школьников 1980.

Ответ: 1980.

Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример.

Рассмотрим моток веревки длиной см. Условие того, что его можно разрезать на стандартных кусков, записывается в виде или

а) В данном случае имеем (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на стандартых кусков, тогда, при получаем

то есть этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на стандартных куска.

При получаем Значит, эту веревку можно разрезать на 33 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков.

б) Отрезки и являющиеся решениями неравенств и имеют общие точки для всех при которых то есть при Значит, любую веревку длиной см или более можно разрезать на стандартные куски.

Докажем, что веревку, длина которой больше см, но меньше см, нельзя разрезать на стандартных кусков ни для какого При получаем что противоречит условию При получаем что противоречит условию Таким образом, искомое число равно 3267.

Ответ: а) 33; б) 3267.

Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример.

Рассмотрим моток веревки длиной см. Условие того, что его можно разрезать на стандартных кусков, записывается в виде или

а) В данном случае имеем (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на стандартных кусков, тогда При получаем

т.е. этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 23 стандартных куска.

При получаем Значит, эту веревку можно разрезать на 23 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков.

б) Отрезки и являющиеся решениями неравенств и имеют общие точки для всех при которых то есть при Значит, любую веревку длиной см или более можно разрезать на стандартные куски.

Докажем, что веревку, длина которой больше см, но меньше см, нельзя разрезать на стандартных кусков ни для какого При получаем что противоречит условию При получаем что противоречит условию Таким образом, искомое число равно 2645.

Ответ: а) 23; б) 2645.

а) 1. Если один из братьев получит золотых, то второй получит В этом случае первый брат заплатит налог а второй ― Следовательно, общая сумма, которая останется у братьев после налогообложения золотых.

2. Если каждый из них получит более золотых, значит, они оба заплатят налог и тогда в сумме у них останется золотых.

3. Пусть один из них получит золотых, где Тогда его брат получит золотых, причем это число будет больше Значит, первый брат заплатит налог а второй ― Таким образом, после налогообложения у них останется золотых. Очевидно, что чем больше тем больше данная сумма. Значит, следует выбрать наибольшее возможное значение то есть В этом случае в семье останется золотых, что больше, чем в первом и во втором случаях.

Ответ: 400 и 600.

б) Заметим, что чем меньше золотых отдадут братья в качестве налога, тем больше денег у них останется. Таким образом, можно решать равносильную задачу: распределить деньги между братьями так, чтобы они в сумме заплатили как можно меньше.

1. Пусть все три брата получили от 101 до 400 золотых. В этом случае каждый из них заплатил налог 20%, а значит, они должны в сумме заплатить 200 золотых.

2. Пусть хотя бы один из братьев получил более 400 золотых. Тогда он должен заплатить налог 50%, то есть более 200 золотых. В этом случае сумма, которую заплатят все три брата, больше 200 золотых. Таким образом, распределение, разобранное в первом случае, выгоднее.

3. Пусть хотя бы один из братьев получил не более 100 золотых. В этом случае остальные 900 золотых нужно распределить между двумя братьями, а значит, хотя бы у одного из них окажется сумма не меньше 450 золотых. Этот случай разобран в п.2.

Следовательно, сумма, которая останется у братьев, будет наибольшей в том случае, если каждый из них получит от 101 до 400 золотых. При этом верным будет любое разбиение 1000 золотых на три слагаемых, каждое из которых лежит в указанном промежутке (в качестве примера можно выбрать числа 366, 366 и 268).

Ответ: любые три числа от 101 до 400, сумма которых равна 1000 (например, 366, 366 и 268).

a) Всего имеется 33 + 27 = 60 коробок. Значит, в каждом контейнере должно находиться по 30 коробок. Пусть x — количество лёгких (по 19 кг) коробок в первом контейнере. Тогда число тяжёлых (по 49 кг) коробок в первом контейнере равно Во втором контейнере лёгких коробок получается а тяжёлых коробок:

Суммарные массы коробок в первом и втором контейнерах равны соответственно:

Отсюда:

Число является нечётным и принимает наименьшее возможное значение 1 при или Следовательно, наименьшее значение S равно 30.

б) Пусть в первом контейнере находится x лёгких коробок и y тяжёлых коробок. Тогда во втором контейнере будет и лёгких и тяжёлых коробок соответственно. Имеем:

При этом имеют место неравенства:

Величина S равна:

Нам, таким образом, требуется найти минимальное значение S при условии, что выполнены оба неравенства.

Заметим, что возможен прямой перебор всех значений x и то

есть последовательное рассмотрение всех вариантов. Вообще, исчерпывающий перебор конечного числа вариантов — это полноценное решение задачи! Но мы, естественно, таким путём не пойдём и поищем способ избежать прямого перебора.

Прежде всего проверим, не может ли S равняться нулю. Для этого рассмотрим уравнение:

Будем использовать остатки от деления на 7. Перепишем уравнение следующим образом:

Нетрудно проверить, что 975 даёт остаток 2 Значит, и слагаемое 5x даёт остаток 2 (ведь остальные слагаемые в левой части делятся на 7). Какой остаток при этом даёт сам x? Перебор остатков от 0 до 6 показывает, что единственная возможность — это остаток 6, то есть

Подставляем в

и после сокращения на 7:

Благодаря этому сокращению уравнение проще уравнения. Давайте повторим всю эту процедуру — теперь уже применительно к уравнению. Начинаем так же:

Правая часть 123 даёт остаток 4 Значит, и 5k даёт остаток 4. Тогда k может давать только остаток 5:

Подставляя в , получим: Таким образом, оказывается, что  — вопреки первому неравенству.

Итак, уравнение не имеет решений, удовлетворяющих условию. Поэтому

А какие решения есть? Давайте всё же доведём до конца решение уравнения — полезно посмотреть, чем дело кончится. Подставим:

Отсюда видно, что единственная возможность — это m = 0 и y = 4. Остаётся найти x. Последовательно получаем:

Поскольку S является чётным числом, имеем оценку: Равенство достигается, например, в случае x = 23 и y = 11:

Следовательно, наименьшее значение S равно 2.

Ответ: а) 30; б) 2.

а) Пусть L — длина мотка верёвки. Коль скоро его можно разрезать на 24 стандартных куска, выполнено неравенство А так как не все куски имеют одинаковую длину, неравенство является строгим:

По тем же самым причинам справедливо неравенство Итак,

Теперь заметим, что и Поэтому и мы получаем новое двойное неравенство для L:

Предположим, что моток можно разрезать на стандартных кусков одинаковой длины. Тогда имеем неравенство

которое противоречит неравенству. Следовательно,

Покажем, что наш моток можно разрезать на 24 одинаковых стандартных куска. Из неравенства следует, что где Разрежем моток на 24 куска одинаковой длины; тогда длина d одного куска равна:

С одной стороны, С другой стороны,

Итак, так что куски являются стандартными. Следовательно, данный моток разрезается самое большее на 24 одинаковых стандартных куска.

б) Сформулируем и решим задачу в общем виде — тем самым яснее проявится идея её решения.

Пусть a и b — натуральные числа (a < b). Всякое число, расположенное на отрезке называем стандартным. Нам надо найти такое наименьшее число l, что любое число можно представить в виде суммы стандартных слагаемых.

Cуществует наибольшее натуральное n, для которого выполнено неравенство

В самом деле, нетрудно видеть, что это есть наибольшее натуральное n, удовлетворяющее неравенству Обозначим его n₀:

Пусть сначала Покажем, что найдётся не представимое в виде суммы стандартных слагаемых. Возьмём L таким, что Иными словами, мы выбираем число L, одновременно удовлетворяющее двум условиям:

1)

2)

Поскольку из второго условия следует неравенство

Предположим, что L равно сумме k стандартных слагаемых. Тогда Отсюда и из неравенства следует, что одновременно выполнены неравенства и Полученное противоречие показывает, что L нельзя представить в виде суммы стандартных

слагаемых.

Пусть теперь Покажем, что любое число можно представить в виде суммы стандартных слагаемых.

Для любого L найдётся натуральное n такое, что Поскольку выполнено имеем Отсюда в соответствии с определением числа n₀ заключаем, что Это даёт нам неравенство

или

Следовательно, L можно представить в виде суммы n стандартных слагаемых, каждое из которых равно

Таким образом, мы нашли наименьшее l, такое, что любое число представляется суммой стандартных слагаемых. Это наименьшее l равно

Остаётся применить полученные результаты к исходной задаче. Имеем: a = 168, b = 175, так что

Находим Тогда

Ответ: а) 24; б) 4032.