Тип А: 2 автобуса; n − рейсов каждый; m + 7 − человек в автобусе

Тип В: 3 автобуса; n − 1 − рейс; m − человек

Следовательно надо найти делители 42:

Если то получаем а всего школьников 504.

Если то школьников 420;

Если то школьников 420;

Если то школьников 504;

Если то школьников 540;

Если то школьников 816;

Если то школьников 1980.

Ответ: 1980.

Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример.

Рассмотрим моток веревки длиной см. Условие того, что его можно разрезать на стандартных кусков, записывается в виде или

а) В данном случае имеем (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на стандартых кусков, тогда, при получаем

то есть этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на стандартных куска.

При получаем Значит, эту веревку можно разрезать на 33 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков.

б) Отрезки и являющиеся решениями неравенств и имеют общие точки для всех при которых то есть при Значит, любую веревку длиной см или более можно разрезать на стандартные куски.

Докажем, что веревку, длина которой больше см, но меньше см, нельзя разрезать на стандартных кусков ни для какого При получаем что противоречит условию При получаем что противоречит условию Таким образом, искомое число равно 3267.

Ответ: а) 33; б) 3267.

Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример.

Рассмотрим моток веревки длиной см. Условие того, что его можно разрезать на стандартных кусков, записывается в виде или

а) В данном случае имеем (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на стандартных кусков, тогда При получаем

т.е. этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 23 стандартных куска.

При получаем Значит, эту веревку можно разрезать на 23 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков.

б) Отрезки и являющиеся решениями неравенств и имеют общие точки для всех при которых то есть при Значит, любую веревку длиной см или более можно разрезать на стандартные куски.

Докажем, что веревку, длина которой больше см, но меньше см, нельзя разрезать на стандартных кусков ни для какого При получаем что противоречит условию При получаем что противоречит условию Таким образом, искомое число равно 2645.

Ответ: а) 23; б) 2645.

а) 1. Если один из братьев получит золотых, то второй получит В этом случае первый брат заплатит налог а второй ― Следовательно, общая сумма, которая останется у братьев после налогообложения золотых.

2. Если каждый из них получит более золотых, значит, они оба заплатят налог и тогда в сумме у них останется золотых.

3. Пусть один из них получит золотых, где Тогда его брат получит золотых, причем это число будет больше Значит, первый брат заплатит налог а второй ― Таким образом, после налогообложения у них останется золотых. Очевидно, что чем больше тем больше данная сумма. Значит, следует выбрать наибольшее возможное значение то есть В этом случае в семье останется золотых, что больше, чем в первом и во втором случаях.

Ответ: 400 и 600.

б) Заметим, что чем меньше золотых отдадут братья в качестве налога, тем больше денег у них останется. Таким образом, можно решать равносильную задачу: распределить деньги между братьями так, чтобы они в сумме заплатили как можно меньше.

1. Пусть все три брата получили от 101 до 400 золотых. В этом случае каждый из них заплатил налог 20%, а значит, они должны в сумме заплатить 200 золотых.

2. Пусть хотя бы один из братьев получил более 400 золотых. Тогда он должен заплатить налог 50%, то есть более 200 золотых. В этом случае сумма, которую заплатят все три брата, больше 200 золотых. Таким образом, распределение, разобранное в первом случае, выгоднее.

3. Пусть хотя бы один из братьев получил не более 100 золотых. В этом случае остальные 900 золотых нужно распределить между двумя братьями, а значит, хотя бы у одного из них окажется сумма не меньше 450 золотых. Этот случай разобран в п.2.

Следовательно, сумма, которая останется у братьев, будет наибольшей в том случае, если каждый из них получит от 101 до 400 золотых. При этом верным будет любое разбиение 1000 золотых на три слагаемых, каждое из которых лежит в указанном промежутке (в качестве примера можно выбрать числа 366, 366 и 268).

Ответ: любые три числа от 101 до 400, сумма которых равна 1000 (например, 366, 366 и 268).

a) Всего имеется 33 + 27 = 60 коробок. Значит, в каждом контейнере должно находиться по 30 коробок. Пусть x — количество лёгких (по 19 кг) коробок в первом контейнере. Тогда число тяжёлых (по 49 кг) коробок в первом контейнере равно Во втором контейнере лёгких коробок получается а тяжёлых коробок:

Суммарные массы коробок в первом и втором контейнерах равны соответственно:

Отсюда:

Число является нечётным и принимает наименьшее возможное значение 1 при или Следовательно, наименьшее значение S равно 30.

б) Пусть в первом контейнере находится x лёгких коробок и y тяжёлых коробок. Тогда во втором контейнере будет и лёгких и тяжёлых коробок соответственно. Имеем:

При этом имеют место неравенства:

Величина S равна:

Нам, таким образом, требуется найти минимальное значение S при условии, что выполнены оба неравенства.

Заметим, что возможен прямой перебор всех значений x и то

есть последовательное рассмотрение всех вариантов. Вообще, исчерпывающий перебор конечного числа вариантов — это полноценное решение задачи! Но мы, естественно, таким путём не пойдём и поищем способ избежать прямого перебора.

Прежде всего проверим, не может ли S равняться нулю. Для этого рассмотрим уравнение:

Будем использовать остатки от деления на 7. Перепишем уравнение следующим образом:

Нетрудно проверить, что 975 даёт остаток 2 Значит, и слагаемое 5x даёт остаток 2 (ведь остальные слагаемые в левой части делятся на 7). Какой остаток при этом даёт сам x? Перебор остатков от 0 до 6 показывает, что единственная возможность — это остаток 6, то есть

Подставляем в

и после сокращения на 7:

Благодаря этому сокращению уравнение проще уравнения. Давайте повторим всю эту процедуру — теперь уже применительно к уравнению. Начинаем так же:

Правая часть 123 даёт остаток 4 Значит, и 5k даёт остаток 4. Тогда k может давать только остаток 5:

Подставляя в , получим: Таким образом, оказывается, что  — вопреки первому неравенству.

Итак, уравнение не имеет решений, удовлетворяющих условию. Поэтому

А какие решения есть? Давайте всё же доведём до конца решение уравнения — полезно посмотреть, чем дело кончится. Подставим:

Отсюда видно, что единственная возможность — это m = 0 и y = 4. Остаётся найти x. Последовательно получаем:

Поскольку S является чётным числом, имеем оценку: Равенство достигается, например, в случае x = 23 и y = 11:

Следовательно, наименьшее значение S равно 2.

Ответ: а) 30; б) 2.