Пусть точки P и A лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой CD (рис. 1). Тре­уголь­ник ADP — рав­но­бед­рен­ный (AD = DC = DP = 1), по­это­му

Пусть DH — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ADP. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ADH на­хо­дим, что

Пусть те­перь точки P и A лежат но раз­ные сто­ро­ны от пря­мой CD (рис. 2). Тре­уголь­ник ADP — рав­но­бед­рен­ный (AD = DC = DP = 1), по­это­му

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ADH на­хо­дим, что

Ответ: или

При­ме­ча­ние.

На наш взгляд, в от­ве­те можно было оста­вить вы­ра­же­ния и Тем не менее, на при­ме­ре вы­чис­ле­ния зна­че­ния ука­жем два спо­со­ба на­хож­де­ния этих ве­ли­чин:

или, ис­поль­зуя фор­му­лу по­ло­вин­но­го угла:

За­ме­тим, кста­ти, что одно из воз­мож­ных до­ка­за­тельств ра­вен­ства по­лу­чен­ных вы­ра­же­ния сво­дит­ся к вы­де­ле­нию пол­но­го квад­ра­та из-под знака корня:

Пусть α — угол между пря­мы­ми MT и AB. По усло­вию , по­это­му точка M лежит на сто­ро­не DC, а для точки T воз­мож­ны толь­ко два слу­чая: точка T лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны AD за точку A или на про­дол­же­нии сто­ро­ны AD за точку D.

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай. За­ме­тим, что От­ре­зок по­это­му Зна­чит, Кроме того, Сле­до­ва­тель­но,

Во вто­ром слу­чае По-преж­не­му Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 16 или 48.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. По свой­ству па­рал­лель­ных пря­мых Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, и По­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник — пря­мо­уголь­ный с ги­по­те­ну­зой и ка­те­том По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Точка может ле­жать как по одну, так и по дру­гую сто­ро­ну от точки

Если точка лежит между и (точка на ри­сун­ке), то

Если точка лежит между и (точка на ри­сун­ке), то

Ответ: 1 или 3.

Пусть Изобразим две ситуации: когда угол острый и когда — тупой.

Проведём высоту и диагональ Отрезок равен средней линии. Из прямоугольного треугольника найдём высоту: Последнее равенство верно, поскольку вписанный угол в два раза меньше центрального угла Воспользуемся формулой тангенса половинного угла:

Если то и

Если то и

Ответ: 1 или 9.

Рассмотрим два случая (см. рис. 1 и рис. 2):

1)

2)

Ответ: 2 или 10.