Пусть точки P и A лежат по одну сторону от прямой CD (рис. 1). Треугольник ADP — равнобедренный (AD = DC = DP = 1), поэтому

Пусть DH — высота треугольника ADP. Из прямоугольного треугольника ADH находим, что

Пусть теперь точки P и A лежат но разные стороны от прямой CD (рис. 2). Треугольник ADP — равнобедренный (AD = DC = DP = 1), поэтому

Из прямоугольного треугольника ADH находим, что

Ответ: или

Примечание.

На наш взгляд, в ответе можно было оставить выражения и Тем не менее, на примере вычисления значения укажем два способа нахождения этих величин:

или, используя формулу половинного угла:

Заметим, кстати, что одно из возможных доказательств равенства полученных выражения сводится к выделению полного квадрата из-под знака корня:

Пусть α — угол между прямыми MT и AB. По условию , поэтому точка M лежит на стороне DC, а для точки T возможны только два случая: точка T лежит на продолжении стороны AD за точку A или на продолжении стороны AD за точку D.

Рассмотрим первый случай. Заметим, что Отрезок поэтому Значит, Кроме того, Следовательно,

Во втором случае По-прежнему Следовательно,

Ответ: 16 или 48.

Окружностей две: каждая из них вписанная в правильный треугольник. Эти треугольники имеют стороны равные 3 и 2 соответственно. Для треугольника со стороной 3 радиус равен

Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как сумму площадей треугольников и

Для треугольника со стороной 2 радиус равен

Чтобы найти площадь четырехугольника вычтем из площади параллелограмма площади треугольников и

Ответ: или

Введём обозначения как показано на рисунке. По свойству параллельных прямых Следовательно, треугольник равнобедренный, и Получаем, что треугольник — прямоугольный с гипотенузой и катетом По теореме Пифагора Точка может лежать как по одну, так и по другую сторону от точки

Если точка лежит между и (точка на рисунке), то

Если точка лежит между и (точка на рисунке), то

Ответ: 1 или 3.

Пусть Изобразим две ситуации: когда угол острый и когда — тупой.

Проведём высоту и диагональ Отрезок равен средней линии. Из прямоугольного треугольника найдём высоту: Последнее равенство верно, поскольку вписанный угол в два раза меньше центрального угла Воспользуемся формулой тангенса половинного угла:

Если то и

Если то и

Ответ: 1 или 9.

Рассмотрим два случая (см. рис. 1 и рис. 2):

1)

2)

Ответ: 2 или 10.

Найдем диагональ AC. Опустим из вершин B и С на сторону AD перпендикуляры BE и СF соответственно. AE = FD, так как трапеция равнобедренная. BCFE — прямоугольник.

Возможны две геометрические конфигурации.

Первый вариант: окружность вписана в треугольник ACD:

Второй вариант: окружность касается продолжения сторон AC и AD за точками C и D соответственно и отрезка CD:

Ответ: 5 или 30.

Примечание.

Решение опирается на известную теорему: расстояние от вершины треугольника до точки касания исходящей из этой вершины стороны со вписанной в треугольник окружностью, равно разности полупериметра треугольника и стороны, противолежащей этой вершине.

Возьмем точку на так, что Если то и Значит,

Ответ:

Обозначим Тогда по свойству биссектрисы: и откуда

Получаем:

Значит, Тогда Откуда

Ответ:

Пусть (рис. 1). Положим Треугольник AOD подобен треугольнику BOC с коэффициентом а треугольник CMB подобен треугольнику AMP с коэффициентом поэтому

значит, Аналогично значит, треугольники MON и AOD подобны.

Пусть h — высота трапеции. Тогда площадь трапеции

а так как треугольник MON подобен треугольнику AOD с коэффициентом то

Рассмотрим случай, когда (рис. 2). Аналогично предыдущему получим, что и Следовательно,

Ответ: или

Возможны два случая: точка M лежит на продолжении стороны CD за точку C или на продолжении стороны CD за точку D. Пусть — угол между прямыми MT и AB.

Рассмотрим первый случай. Заметим, что Отрезок поэтому Значит, Кроме того, Следовательно,

Во втором случае По-прежнему Следовательно,

Ответ: 12 или 20.

Пусть — полупериметр треугольника — высота треугольника. Тогда

По формуле Герона

Тогда

Из прямоугольных треугольников и находим, что

Если точка лежит между точками и (рис. 1), то

Следовательно, Если же точка M лежит между точками и (рис. 2), то

Следовательно,

Ответ: 144 или 336.

Пусть (рис. 1). Положим Треугольник COB подобен треугольнику AOD с коэффициентом а треугольник CMB подобен треугольнику AMP с коэффициентом поэтому

значит, Аналогично

Пусть h — высота трапеции. Тогда площадь трапеции

а так как треугольник MON подобен треугольнику AOD с коэффициентом то

Рассмотрим случай, когда (рис. 2). Аналогично предыдущему получим, что и Следовательно,

Ответ: или

Пусть — высота трапеции, а основания равны и Тогда

Откуда

Пусть Найдём площади треугольников и

В треугольниках и углы и равны как вертикальные, а углы и как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей Следовательно, треугольники и подобны с коэффициентом подобия 3, откуда

Выразим площадь треугольника через площадь трапеции и площади треугольников и

Рассмотрим треугольники и углы и равны как вертикальные, углы и равны как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей следовательно, эти треугольники подобны, откуда

Заметим, что отношение площадей треугольников и равно отношению сторон и значит, Аналогично,

Найдём площадь четырёхугольника

Рассмотрим случай, когда Найдём площади треугольников и Треугольники и подобны, поэтому их площади относятся как квадрат коэффициента подобия:

Выразим площадь треугольника через площадь трапеции и площади треугольников и

Откуда

Из подобия треугольников и получим отношение: Площади треугольников и относятся как длины отрезков и откуда и Аналогично, и

Найдём площади треугольников и

Найдём площадь четырёхугольника

Ответ: 6,75;

Пусть p — полупериметр треугольника ABC, AH — высота треугольника. Тогда

По формуле Герона

Тогда

Из прямоугольных треугольников AHM и AHB находим, что

Таким образом, либо точка M лежит на продолжении стороны ВС, как показано на рисунке, либо точка M совпадает с точкой C.

Если точка M совпадает с точкой C, то

Если же точка M лежит на продолжении стороны ВС, как показано на рисунке, то

Следовательно,

Ответ: 36 или 84.

Пусть точки Р и А лежат по одну сторону от прямой CD (рис. 1). Треугольник BCP — равнобедренный (BC = CD = CP = 1), поэтому

,

значит,

Пусть AH — высота треугольника ABP. Из прямоугольного треугольника ABH находим, что

Пусть теперь точки P и A лежат по разные стороны от прямой CD (рис.2). Треугольник BCP — равнобедренный (BC = CD = CP = 1), поэтому

Из прямоугольного треугольника ABH находим, что

Ответ: или

Введем следующие обозначения: , ,

1 случай (точка E лежит между точками A и С, см. рис. 1).

Треугольник АВЕ равнобедренный, поэтому , а значит,

Углы ABE и CBD треугольников ABE и CBD равны, значит,

откуда

Поскольку , получаем

2 случай (точка A лежит между точками E и С, см. рис. 2).

Аналогично случаю 1 находим

Ответ: 30 или 66.

Введем следующие обозначения: , ,

1 случай (точка E лежит между точками A и С, см. рис. 1).

1. Треугольник АВЕ ― равнобедренный, поэтому , а значит,

2. Углы ABE и CBD треугольников ABE и CBD равны. Следовательно,

откуда

3. Поскольку

получаем:

4. Окончательно находим:

2 случай (точка A лежит между точками E и С (см. рис. 2).

Аналогично случаю 1 находим

Ответ: 25 или 39.

В зависимости от порядка расположения точек M и N на AD есть 2 случая:

Первый случай. , где , Тогда

Второй случай. , где , Тогда

Ответ: 2 или 2,5.

Пусть E — точка пересечения биссектрис, Так как то точка M лежит между точками B и N возможны два случая.

1. Точка E — внутри параллелограмма. Треугольники ABN и DMC равнобедренные, следовательно, откуда, учитывая, что , получаем

              

2. Точка E — вне параллелограмма. Тогда откуда учитывая, что получаем

Ответ: или

Пусть вершины K и L прямоугольника KLMN лежат на основании АC равнобедренного треугольника (точка K — между A и L), а вершины M и N — на боковых сторонах BC и BA соответственно.

Обозначим

Тогда

Предположим, что сторона прямоугольника вдвое больше его стороны Положим Из прямоугольного треугольника находим, что Тогда а так как то

Откуда Тогда

Следовательно,

Пусть теперь сторона прямоугольника вдвое больше его стороны Положим Из прямоугольного треугольника находим, что Тогда а так как то

откуда Тогда Следовательно,

Ответ: 512 или 800.

Пусть (рис. 1). Четырехугольники и — параллелограммы, поэтому и — середины и значит, и — медианы треугольника Пусть — высота трапеции. Положим Тогда

так как — точка пересечения медиан треугольника поэтому

Аналогично, значит, треугольник подобен треугольнику с коэффициентом Заметим, что поскольку треугольники AOD и BOC подобны с коэффициентом 2, высота треугольника AOD вдвое больше высоты треугольника BOC и составляет две трети высоты трапеции. Имеем:

Рассмотрим случай, когда (рис. 2) Пусть — высота трапеции. Положим Тогда, как и в первом случае

Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом , а треугольник  – треугольнику с коэффициентом Тогда

Значит, Аналогично, Следовательно,

Ответ: или

По теореме Пифагора

Пусть точка E лежит на луче AD. Медиана AD длиннее AE, и точка E лежит внутри треугольника ABC. Тогда

Опустим из точки перпендикуляр на прямую и рассмотрим подобные прямоугольные треугольники и Из подобия треугольников находим:

Следовательно,

Пусть теперь точка лежит между и В этом случае и Тогда

Ответ:

Пусть — вершина данного угла, и — проекции точки на стороны угла, и — точки, в которых прямая, проходящая через точку пересекает стороны соответственно и данного прямого угла. Обозначим Тогда

С другой стороны,

Из системы уравнений

Находим, что или Следовательно,

или

Ответ:

Случай 1. Угол A ― острый (см. рисунок 1).

Имеем: откуда

Далее находим:

а) из прямоугольного треугольника ABM:

б) из четырехугольника AMHN:

Случай 2. Угол A ― тупой (см. рисунок 2).

Аналогично случаю 1 имеем:

а)

б)

в)

Ответ: или

а) Площадь треугольника А₁МВ₂ в два раза меньше площади треугольника А₁МВ, поскольку MB = 2MB₂, а высота, проведённая из вершины А₁ у этих треугольников общая:

Аналогично получаем еще 5 равенств:

Складывая эти равенства почленно, получаем

б) Обозначим длины сторон ВС, АС, АВ треугольника ABC через а, b, с.

Докажем, что квадрат медианы AA₁ равен

Для доказательства на продолжении отрезка AA₁ за точку А₁ отложим отрезок А₁Р = AA₁. Получим параллелограмм АСРВ со сторонами АС = РВ = b и АВ = CP = с и диагоналями ВС = а и АР = 2AA₁. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

Аналогично доказывается, что a Отрезок C₁A₂ — средняя линия треугольника АВМ, значит,

Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC: Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна

Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника ABC, получаем ответ: сумма квадратов сторон шестиугольника равна

Ответ: