Пусть точки P и A лежат по одну сторону от прямой CD (рис. 1). Треугольник ADP — равнобедренный (AD = DC = DP = 1), поэтому

Пусть DH — высота треугольника ADP. Из прямоугольного треугольника ADH находим, что

Пусть теперь точки P и A лежат но разные стороны от прямой CD (рис. 2). Треугольник ADP — равнобедренный (AD = DC = DP = 1), поэтому

Из прямоугольного треугольника ADH находим, что

Ответ: или

Примечание.

На наш взгляд, в ответе можно было оставить выражения и Тем не менее, на примере вычисления значения укажем два способа нахождения этих величин:

или, используя формулу половинного угла:

Заметим, кстати, что одно из возможных доказательств равенства полученных выражения сводится к выделению полного квадрата из-под знака корня:

Пусть α — угол между прямыми MT и AB. По условию , поэтому точка M лежит на стороне DC, а для точки T возможны только два случая: точка T лежит на продолжении стороны AD за точку A или на продолжении стороны AD за точку D.

Рассмотрим первый случай. Заметим, что Отрезок поэтому Значит, Кроме того, Следовательно,

Во втором случае По-прежнему Следовательно,

Ответ: 16 или 48.

Введём обозначения, как показано на рисунке. По свойству параллельных прямых Следовательно, треугольник равнобедренный, и Получаем, что треугольник — прямоугольный с гипотенузой и катетом По теореме Пифагора Точка может лежать как по одну, так и по другую сторону от точки

Если точка лежит между и (точка на рисунке), то

Если точка лежит между и (точка на рисунке), то

Ответ: 1 или 3.

Пусть Изобразим две ситуации: когда угол острый и когда — тупой.

Проведём высоту и диагональ Отрезок равен средней линии. Из прямоугольного треугольника найдём высоту: Последнее равенство верно, поскольку вписанный угол в два раза меньше центрального угла Воспользуемся формулой тангенса половинного угла:

Если то и

Если то и

Ответ: 1 или 9.

Рассмотрим два случая (см. рис. 1 и рис. 2):

1)

2)

Ответ: 2 или 10.