а)  Для на­ча­ла про­ве­рим, будет ли вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство, если взять мак­си­маль­ное число двоек в сумме 500 монет:

Далее за­ме­тим, что если в сумме 500 монет за­ме­нить двой­ку на пя­тер­ку, то сумма слева уве­ли­чит­ся на 3, а сумма спра­ва оста­нет­ся не­из­мен­ной. Сле­до­ва­тель­но, раз при наи­боль­шем ко­ли­че­стве двоек не­ра­вен­ство верно, то и при любом дру­гом на­бо­ре монет усло­вие за­да­чи будет вы­пол­не­но. Зна­чит, N может рав­нять­ся 400.

б)  При­ве­дем при­мер на­бо­ра из 500 монет, при ко­то­ром усло­вие не вы­пол­ня­ет­ся. Возь­мем толь­ко двой­ки. В этом слу­чае:

Зна­чит, N не может рав­нять­ся 600.

в)  Рас­смот­рим два слу­чая: N боль­ше 0 и не боль­ше 500 и N боль­ше 500 и мень­ше 1200. В обоих слу­ча­ях будем брать наи­мень­шую воз­мож­ную сумму 500 монет, то есть брать наи­боль­шее ко­ли­че­ство двоек. За­пи­шем усло­вие для пер­во­го слу­чая:

При не­ра­вен­ство верно:

Далее за­ме­тим, что при умень­ше­нии N на 1 сумма слева уве­ли­чит­ся на 3, а спра­ва  — на 0,75. Сле­до­ва­тель­но, все N от 1 до 444 под­хо­дят.

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай. В этом слу­чае наи­мень­шая сумма из 500 монет будет со­сто­ять толь­ко из двоек:

При не­ра­вен­ство верно:

Далее за­ме­тим, что при уве­ли­че­нии N на 1 сумма слева оста­нет­ся не­из­мен­ной, а спра­ва умень­шит­ся. Сле­до­ва­тель­но, все N от 667 до 1199 под­хо­дят. Таким об­ра­зом, ко­ли­че­ство под­хо­дя­щих N равно

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  977.

а)  Ясно, что вы­пол­не­ние усло­вия до­ста­точ­но про­ве­рять для 300 монет наи­мень­ше­го до­сто­ин­ства. Если то нужно взять N монет по 2 рубля и монет по 5 руб­лей. В этом слу­чае усло­вие за­да­чи сво­дит­ся к не­ра­вен­ству:

то есть под­хо­дят числа от 1 до 111. Их 111, в част­но­сти, под­хо­дит

б)  Если то нужно взять 300 монет по 2 рубля. Их сумма равна 600, зна­чит, общая сумма денег на столе

от­ку­да Под­хо­дят числа от 867 до 999, их В част­но­сти, не под­хо­дит.

в)  Всего под­хо­дя­щих чисел

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  244.

а)  Для на­ча­ла про­ве­рим, будет ли вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство, если взять мак­си­маль­ное число двоек в сумме 300 монет:

Далее за­ме­тим, что если в сумме 500 монет за­ме­нить двой­ку на пя­тер­ку, то сумма слева уве­ли­чит­ся на 3, а сумма спра­ва оста­нет­ся не­из­мен­ной. Сле­до­ва­тель­но, раз при наи­боль­шем ко­ли­че­стве двоек не­ра­вен­ство верно, то и при любом дру­гом на­бо­ре монет усло­вие за­да­чи будет вы­пол­не­но. Зна­чит, N может рав­нять­ся 200.

б)  При­ве­дем при­мер на­бо­ра из 300 монет, при ко­то­ром усло­вие не вы­пол­ня­ет­ся. Возь­мем толь­ко двой­ки. В этом слу­чае:

Зна­чит, N не может рав­нять­ся 400.

в)  Рас­смот­рим два слу­чая: N боль­ше 0 и не боль­ше 300 и N боль­ше 300 и мень­ше 800. В обоих слу­ча­ях будем брать наи­мень­шую воз­мож­ную сумму 300 монет, то есть брать наи­боль­шее ко­ли­че­ство двоек. За­пи­шем усло­вие для пер­во­го слу­чая:

При не­ра­вен­ство верно:

Далее за­ме­тим, что при умень­ше­нии N на 1 сумма слева уве­ли­чит­ся на 3, а спра­ва  — на 0,75. Сле­до­ва­тель­но, все N от 1 до 222 под­хо­дят.

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай. В этом слу­чае наи­мень­шая сумма из 300 монет будет со­сто­ять толь­ко из двоек:

При не­ра­вен­ство верно:

Далее за­ме­тим, что при уве­ли­че­нии N на 1 сумма слева оста­нет­ся не­из­мен­ной, а спра­ва умень­шит­ся. Сле­до­ва­тель­но, все N от 534 до 799 под­хо­дят. Таким об­ра­зом, ко­ли­че­ство под­хо­дя­щих N равно

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  488.