а)  Если ко­ли­че­ство синих карт равно 1, то мак­си­маль­ное число на крас­ных кар­тах равно 3, что не де­лит­ся на 8, по­это­му ко­ли­че­ство синих карт не равно 1.

б)  Если ко­ли­че­ство синих карт равно 40, то мак­си­маль­ное число на крас­ных кар­тах равно 120, по­это­му из ин­тер­ва­ла  взято не более 19 чисел, крат­ных 8. Числа на синих кар­тах де­лят­ся на 5, а мак­си­маль­ное число на синих кар­тах равно ко­ли­че­ству крас­ных карт, по­это­му было взято 5, 10 или 15 чисел для крас­ных карт, но даже в ин­тер­ва­ле  нет 40 чисел, крат­ных 5. Сле­до­ва­тель­но, 40 синих карт быть не может.

в)  Пусть синих карт n, тогда мак­си­маль­ное число на крас­ных кар­тах равно 3n, при этом оно де­лит­ся на 8, то есть n де­лит­ся на 8. Ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 8, в ин­тер­ва­ле  равно и это не мень­ше мак­си­маль­но­го числа на синих кар­тах, ко­то­рое крат­но 5. Сле­до­ва­тель­но, в ин­тер­ва­ле  ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 5, не боль­ше и не мень­ше n, то есть верно

Число n де­лит­ся на 8, по­это­му мак­си­маль­ное n равно 8. Такой слу­чай воз­мо­жен, если, на­при­мер, на синих кар­тах на­пи­са­ны числа –⁠30, –⁠25, –⁠20, –⁠15, –⁠10, –⁠5, 0, 5, а на крас­ных  — числа –⁠24, –⁠16, –⁠8, 8, 24.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  8.

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

На столе лежит стоп­ка из крас­ных и синих карт, на каж­дой из ко­то­рых на­пи­са­но целое число, боль­шее –⁠32. При этом числа на кар­тах од­но­го цвета раз­лич­ны. Числа на всех синих кар­тах де­лят­ся на 5, а на всех крас­ных  — на 8. Из­вест­но, что самое боль­шое число на крас­ной карте равно утро­ен­но­му ко­ли­че­ству синих карт, а самое боль­шое число на синей карте равно ко­ли­че­ству крас­ных карт.

а)  Может ли ко­ли­че­ство синих карт быть рав­ным 1?

б)  Может ли ко­ли­че­ство синих карт быть рав­ным 40?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство синих карт может быть на столе?

а)  Если ко­ли­че­ство синих карт равно 1, то мак­си­маль­ное число на крас­ных кар­тах равно 3, что не де­лит­ся на 8, по­это­му ко­ли­че­ство синих карт не равно 1.

б)  Если ко­ли­че­ство синих карт равно 40, то мак­си­маль­ное число на крас­ных кар­тах равно 120, по­это­му из ин­тер­ва­ла  взято не более 19 чисел, крат­ных 8. Числа на синих кар­тах де­лят­ся на 5, а мак­си­маль­ное число на синих кар­тах равно ко­ли­че­ству крас­ных карт, по­это­му было взято 5, 10 или 15 чисел для крас­ных карт, но даже в ин­тер­ва­ле  нет 40 чисел, крат­ных 5. Сле­до­ва­тель­но, 40 синих карт быть не может.

в)  Пусть синих карт n, тогда мак­си­маль­ное число на крас­ных кар­тах равно 3n, при этом оно де­лит­ся на 8, то есть n де­лит­ся на 8. Ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 8, в ин­тер­ва­ле  равно и это не мень­ше мак­си­маль­но­го числа на синих кар­тах, ко­то­рое крат­но 5. Сле­до­ва­тель­но, в ин­тер­ва­ле  ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 5, не боль­ше и не мень­ше n, то есть верно

Число n де­лит­ся на 8, по­это­му мак­си­маль­ное n равно 8. Такой слу­чай воз­мо­жен, если, на­при­мер, на синих кар­тах на­пи­са­ны числа –⁠30, –⁠25, –⁠20, –⁠15, –⁠10, –⁠5, 0, 5, а на крас­ных  — числа –⁠24, –⁠16, –⁠8, 8, 24.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  8.