ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 17 № 689046 Добавить в вариант

Первичная информация разделяется по серверам № 1 и № 2 и обрабатывается на них. С сервера № 1 при объёме t² Гбайт входящей в него информации выходит 20t  Гбайт, а с сервера № 2 при объеме t²  Гбайт входящей в него информации выходит 21t  Гбайт обработанной информации, где 25 < t < 55. Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объеме входящей информации в 3364 Гбайт?

Решение.

Пусть на сервере № 1 обрабатывается $x в квадрате ,$ а на сервере № 2 обрабатывается $y в квадрате$ Гбайт входящей информации. Тогда $x в квадрате плюс y в квадрате =3364,$ а обработано будет $20x плюс 21y$ Гбайт информации. Требуется найти наибольшее значение суммы $20x плюс 21y$ при условии, что

$x в квадрате плюс y в квадрате =58 в квадрате ,25 меньше x меньше 55,25 меньше y меньше 55.$

Положим $x=58 косинус альфа ,y=58 синус альфа$ для некоторого угла $альфа принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$ Заметим, что $20 в квадрате плюс 21 в квадрате =29 в квадрате ,$ и поэтому

$20x плюс 21y=58 левая круглая скобка 20 косинус альфа плюс 21 синус альфа правая круглая скобка =58 умножить на 29 левая круглая скобка дробь: числитель: 20, знаменатель: 29 конец дроби косинус альфа плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 29 конец дроби синус альфа правая круглая скобка =$
$=58 умножить на 29 синус левая круглая скобка альфа плюс \varphi правая круглая скобка больше или равно 58 умножить на 29 = 1682.$ $20x плюс 21y=58 левая круглая скобка 20 косинус альфа плюс 21 синус альфа правая круглая скобка =$
$=58 умножить на 29 левая круглая скобка дробь: числитель: 20, знаменатель: 29 конец дроби косинус альфа плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 29 конец дроби синус альфа правая круглая скобка =$
$=58 умножить на 29 синус левая круглая скобка альфа плюс \varphi правая круглая скобка больше или равно 58 умножить на 29 = 1682.$

Неравенство обращается в равенство для некоторого вспомогательного угла $\varphi,$ такого, что $косинус альфа = дробь: числитель: 20, знаменатель: 29 конец дроби , синус альфа = дробь: числитель: 21, знаменатель: 29 конец дроби ,$ то есть при $x = 40,y = 42.$ Найденные значения удовлетворяют ограничениям $25 меньше x меньше 55,$ $25 меньше y меньше 55.$

Приведём другое решение.

Пусть на сервере №1 обрабатывается $x в квадрате ,$ а на сервере №2 обрабатывается $y в квадрате$ Гбайт из всей первичной информации. Тогда $x в квадрате плюс y в квадрате =3364,$ а обработано будет $20x плюс 21y$ Гбайт информации. Выразим y через $x: y = корень из: начало аргумента: 3364 минус x в квадрате конец аргумента .$ Требуется найти наибольшее значение функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = 20x плюс 21 корень из: начало аргумента: 3364 минус x в квадрате конец аргумента .$

$f в степени prime левая круглая скобка x правая круглая скобка =20 минус дробь: числитель: 21x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3364 минус x в квадрате конец аргумента конец дроби =0 равносильно 400= дробь: числитель: 441x в квадрате , знаменатель: 3364 минус x в квадрате конец дроби равносильно x в квадрате = дробь: числитель: 400 умножить на 3364, знаменатель: 841 конец дроби =1600 равносильно x=40.$ $f в степени prime левая круглая скобка x правая круглая скобка =20 минус дробь: числитель: 21x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3364 минус x в квадрате конец аргумента конец дроби =0 равносильно 400= дробь: числитель: 441x в квадрате , знаменатель: 3364 минус x в квадрате конец дроби равносильно$
$равносильно x в квадрате = дробь: числитель: 400 умножить на 3364, знаменатель: 841 конец дроби =1600 равносильно x=40.$

Нетрудно заметить, что $x=40$    — точка максимума функции, при этом $y = корень из: начало аргумента: 3364 минус 1600 конец аргумента = 42.$ Условия $25 меньше x меньше 55,25 меньше y меньше 55$ выполнены. Значит, $f_наиб=f левая круглая скобка 40 правая круглая скобка = 20 умножить на 40 плюс 21 умножить на 42=1682.$

Приведём третий вариант решения.

Уравнение $x в квадрате плюс y в квадрате = 58 в квадрате$ задает окружность радиусом 58 с центром в начале координат. Уравнение $C=20x плюс 21y$ задает семейство параллельных прямых. Мы ищем наибольшее значение C такое, что прямая $C=20x плюс 21y$ имеет общие точки с окружностью. Из всех прямых семейства пересекающих окружность, наибольшее значение C будет достигаться в случае касания.

Проведем из начала координат в первый координатный квадрант вектор $\veca левая круглая скобка 20; 21 правая круглая скобка$ перпендикулярный прямым $20x плюс 21y=C.$ Луч, коллинеарный вектору $\veca,$ пересечёт окружность $\omega$ в точке $A левая круглая скобка 40; 42 правая круглая скобка .$ Это и будет точка касания в которой достигается наибольшее значение $C.$ Условия $25 меньше x меньше 55, 25 меньше y меньше 55$ для точки $A левая круглая скобка 40; 42 правая круглая скобка$ выполнены. Значит, $C_наиб= 20 умножить на 40 плюс 21 умножить на 42 = 1682.$

Ответ: 1682.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 689046: 553833 Все

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ

Решение · Критерии · Помощь

Тип 17 № 553833 Добавить в вариант

Первичная информация разделяется по серверам 1 и 2 и обрабатывается на них. С сервера 1 при объёме t² Гбайт входящей в него информации выходит 30t Гбайт, а с сервера 2 при объёме t² Гбайт входящей в него информации выходит 36t Гбайт обработанной информации при условии, что $15 меньше или равно t\leqslant65.$ Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3904 Гбайт?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 689046: 553833 Все

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 331. (часть C)

Решение · Критерии · Помощь