Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 689046
i

Пер­вич­ная ин­фор­ма­ция раз­де­ля­ет­ся по сер­ве­рам № 1 и № 2 и об­ра­ба­ты­ва­ет­ся на них. С сер­ве­ра № 1 при объёме t2 Гбайт вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит 20t  Гбайт, а с сер­ве­ра № 2 при объ­е­ме t2  Гбайт вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит 21t  Гбайт об­ра­бо­тан­ной ин­фор­ма­ции, где 25 < t < 55. Каков наи­боль­ший общий объём вы­хо­дя­щей ин­фор­ма­ции при общем объ­е­ме вхо­дя­щей ин­фор­ма­ции в 3364 Гбайт?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть на сер­ве­ре № 1 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся x в квад­ра­те , а на сер­ве­ре № 2 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся y в квад­ра­те Гбайт вхо­дя­щей ин­фор­ма­ции. Тогда x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =3364, а об­ра­бо­та­но будет 20x плюс 21y Гбайт ин­фор­ма­ции. Тре­бу­ет­ся найти наи­боль­шее зна­че­ние суммы 20x плюс 21y при усло­вии, что

x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =58 в квад­ра­те ,25 мень­ше x мень­ше 55,25 мень­ше y мень­ше 55.

По­ло­жим x=58 ко­си­нус альфа ,y=58 синус альфа для не­ко­то­ро­го угла альфа при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . За­ме­тим, что 20 в квад­ра­те плюс 21 в квад­ра­те =29 в квад­ра­те , и по­это­му

20x плюс 21y=58 левая круг­лая скоб­ка 20 ко­си­нус альфа плюс 21 синус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка =58 умно­жить на 29 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 29 конец дроби ко­си­нус альфа плюс дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 29 конец дроби синус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка =
=58 умно­жить на 29 синус левая круг­лая скоб­ка альфа плюс \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 58 умно­жить на 29 = 1682.

Не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в ра­вен­ство для не­ко­то­ро­го вспо­мо­га­тель­но­го угла \varphi, та­ко­го, что ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 29 конец дроби , синус альфа = дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 29 конец дроби , то есть при x = 40,y = 42. Най­ден­ные зна­че­ния удо­вле­тво­ря­ют огра­ни­че­ни­ям 25 мень­ше x мень­ше 55, 25 мень­ше y мень­ше 55.

 

 

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

 

Пусть на сер­ве­ре №1 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся x в квад­ра­те , а на сер­ве­ре №2 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся y в квад­ра­те Гбайт из всей пер­вич­ной ин­фор­ма­ции. Тогда x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =3364, а об­ра­бо­та­но будет 20x плюс 21y Гбайт ин­фор­ма­ции. Вы­ра­зим y через x: y = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3364 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та . Тре­бу­ет­ся найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 20x плюс 21 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3364 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

f в сте­пе­ни prime левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =20 минус дробь: чис­ли­тель: 21x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3364 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби =0 рав­но­силь­но 400= дробь: чис­ли­тель: 441x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3364 минус x в квад­ра­те конец дроби рав­но­силь­но x в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 400 умно­жить на 3364, зна­ме­на­тель: 841 конец дроби =1600 рав­но­силь­но x=40.

Не­труд­но за­ме­тить, что x=40   — точка мак­си­му­ма функ­ции, при этом y = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3364 минус 1600 конец ар­гу­мен­та = 42. Усло­вия 25 мень­ше x мень­ше 55,25 мень­ше y мень­ше 55 вы­пол­не­ны. Зна­чит, f_наиб=f левая круг­лая скоб­ка 40 пра­вая круг­лая скоб­ка = 20 умно­жить на 40 плюс 21 умно­жить на 42=1682.

 

 

При­ведём тре­тий ва­ри­ант ре­ше­ния.

Пусть на сер­ве­ре №1 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся x в квад­ра­те , а на сер­ве­ре №2 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся y в квад­ра­те Гбайт из всей пер­вич­ной ин­фор­ма­ции. Тогда x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =3364, а об­ра­бо­та­но будет C=20x плюс 21y Гбайт ин­фор­ма­ции.

Урав­не­ние x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те = 58 в квад­ра­те за­да­ет окруж­ность ра­ди­у­сом 58 с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат. Урав­не­ние C=20x плюс 21y за­да­ет се­мей­ство па­рал­лель­ных пря­мых. Мы ищем наи­боль­шее зна­че­ние C такое, что пря­мая C=20x плюс 21y имеет общие точки с окруж­но­стью. Из всех пря­мых се­мей­ства пе­ре­се­ка­ю­щих окруж­ность, наи­боль­шее зна­че­ние C будет до­сти­гать­ся в слу­чае ка­са­ния.

Про­ве­дем из на­ча­ла ко­ор­ди­нат в пер­вый ко­ор­ди­нат­ный квад­рант век­тор \veca левая круг­лая скоб­ка 20; 21 пра­вая круг­лая скоб­ка пер­пен­ди­ку­ляр­ный пря­мым 20x плюс 21y=C. Луч, кол­ли­не­ар­ный век­то­ру \veca, пе­ре­сечёт окруж­ность \omega в точке A левая круг­лая скоб­ка 40; 42 пра­вая круг­лая скоб­ка . Это и будет точка ка­са­ния в ко­то­рой до­сти­га­ет­ся наи­боль­шее зна­че­ние C. Усло­вия 25 мень­ше x мень­ше 55, 25 мень­ше y мень­ше 55 для точки A левая круг­лая скоб­ка 40; 42 пра­вая круг­лая скоб­ка вы­пол­не­ны. Зна­чит, C_наиб= 20 умно­жить на 40 плюс 21 умно­жить на 42 = 1682.

 

Ответ: 1682.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 689046: 553833 Все

Источник: Ма­те­ри­а­лы для экс­пер­тов ЕГЭ
Классификатор алгебры: За­да­чи на оп­ти­маль­ный выбор
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026