РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

1.  Тип 15 № 689043 Добавить в вариант

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство $дробь: числитель: 11 минус 5 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 25 в степени x минус 5 левая круглая скобка 35 умножить на 5 в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка конец дроби \geqslant1,5.$

Решение. Относительно $t=5 в степени x$ неравенство имеет вид:

$дробь: числитель: 11 минус 5t, знаменатель: t в квадрате минус 7t плюс 10 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 11 минус 5t правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка t в квадрате минус 7t плюс 10 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 3t в квадрате плюс 11t минус 8, знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 8 минус 3t правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0.$ $дробь: числитель: 11 минус 5t, знаменатель: t в квадрате минус 7t плюс 10 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 11 минус 5t правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка t в квадрате минус 7t плюс 10 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 3t в квадрате плюс 11t минус 8, знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 8 минус 3t правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0.$

По методу интервалов $1 меньше или равно t меньше 2$ или $дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно t меньше 5.$

Возвращаясь к x, получаем $0 меньше или равно x меньше логарифм по основанию 5 2, логарифм по основанию целая часть: 5, дробная часть: числитель: 8, знаменатель: 3 меньше или равно x меньше 1.$

Ответ: $левая квадратная скобка 0; логарифм по основанию 5 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию целая часть: 5, дробная часть: числитель: 8, знаменатель: 3 ; 1 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

689043

$левая квадратная скобка 0; логарифм по основанию 5 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию целая часть: 5, дробная часть: числитель: 8, знаменатель: 3 ; 1 правая круглая скобка .$

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

2.  Тип 15 № 509949 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике 04.06.2015. Основная волна. Вариант 537

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство: $дробь: числитель: 13 минус 5 умножить на 3 в степени x , знаменатель: 9 в степени x минус 12 умножить на 3 в степени x плюс 27 конец дроби \geqslant0,5.$

Решение. Пусть t = 3^x, тогда:

$дробь: числитель: 13 минус 5t, знаменатель: t в квадрате минус 12t плюс 27 конец дроби \geqslant0,5 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 2t плюс 1, знаменатель: t в квадрате минус 12t плюс 27 конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений t=1,3 меньше t меньше 9. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 13 минус 5t, знаменатель: t в квадрате минус 12t плюс 27 конец дроби \geqslant0,5 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 2t плюс 1, знаменатель: t в квадрате минус 12t плюс 27 конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений t=1,3 меньше t меньше 9. конец совокупности .$

Тогда либо $3 в степени x = 1,$ откуда $x= 0,$ либо $3 меньше t меньше 9,$ откуда $1 меньше x меньше 2.$

Ответ: $левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка .$

509949

$левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка .$

Источник: ЕГЭ по математике 04.06.2015. Основная волна. Вариант 537

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

3.  Тип 15 № 509970 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике 04.06.2015. Основная волна. Вариант 538

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство: $дробь: числитель: 7 минус 2 умножить на 2 в степени x , знаменатель: 4 в степени x минус 12 умножить на 2 в степени x плюс 32 конец дроби \geqslant0,25.$

Решение. Пусть t = 2^x, тогда неравенство принимает вид:

$дробь: числитель: 7 минус 2t, знаменатель: t в квадрате минус 12t плюс 32 конец дроби \geqslant0,25 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 4t плюс 4, знаменатель: t в квадрате минус 12t плюс 32 конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений t = 2,4 меньше t меньше 8. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 7 минус 2t, знаменатель: t в квадрате минус 12t плюс 32 конец дроби \geqslant0,25 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 4t плюс 4, знаменатель: t в квадрате минус 12t плюс 32 конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений t = 2,4 меньше t меньше 8. конец совокупности .$

Тогда либо 2^x = 2, откуда x = 1, либо 4 < 2^x < 8, откуда 2 < x < 3.

Ответ: $1 \cup левая круглая скобка 2;3 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $1 \cup левая круглая скобка 2;3 правая круглая скобка .$

509970

$1 \cup левая круглая скобка 2;3 правая круглая скобка .$

Источник: ЕГЭ по математике 04.06.2015. Основная волна. Вариант 538

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

4.  Тип 15 № 511594 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство $дробь: числитель: 2 в степени x , знаменатель: 4 в степени x минус 2 левая круглая скобка 12 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Решение. Относительно $t=2 в степени x$ неравенство имеет вид:

$дробь: числитель: t, знаменатель: t в квадрате минус 6t плюс 8 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 3t минус левая круглая скобка t в квадрате минус 6t плюс 8 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: минус t в квадрате плюс 9t минус 8, знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 8 минус t правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений 1 меньше или равно t меньше 2,4 меньше t меньше или равно 8. конец совокупности .$ $дробь: числитель: t, знаменатель: t в квадрате минус 6t плюс 8 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 3t минус левая круглая скобка t в квадрате минус 6t плюс 8 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус t в квадрате плюс 9t минус 8, знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 8 минус t правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений 1 меньше или равно t меньше 2,4 меньше t меньше или равно 8. конец совокупности .$ $дробь: числитель: t, знаменатель: t в квадрате минус 6t плюс 8 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 3t минус левая круглая скобка t в квадрате минус 6t плюс 8 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус t в квадрате плюс 9t минус 8, знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 8 минус t правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений 1 меньше или равно t меньше 2,4 меньше t меньше или равно 8. конец совокупности .$

Возвращаясь к x, получаем: $0 меньше или равно x меньше 1$ или $2 меньше x меньше или равно 3.$

Ответ: $левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; 3 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

511594

$левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; 3 правая квадратная скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	689043	$левая квадратная скобка 0; логарифм по основанию 5 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию целая часть: 5, дробная часть: числитель: 8, знаменатель: 3 ; 1 правая круглая скобка .$
2	509949	$левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка .$
3	509970	$1 \cup левая круглая скобка 2;3 правая круглая скобка .$
4	511594	$левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; 3 правая квадратная скобка .$