Тип Д10 C2 № 689693 
Сложная стереометрия. Многогранники
i
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС точка М — середина бокового ребра SC, на ребрах AS и BS отмечены точки K и L соответственно так, что SK : KA = SL : LB = 3 : 1. Сторона основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна 7.
а) Докажите, что угол между плоскостью АВС и плоскостью KML равен 30°.
б) Найдите расстояние от точки S до плоскости KML.
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС точка М — середина бокового ребра SC, на ребрах AS и BS отмечены точки K и L соответственно так, что AK : KS = SL : LB = 3 : 1. Сторона основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна 
а) Докажите, что угол между плоскостью АВС и плоскостью KML равен 30°.
б) Найдите расстояние от точки S до плоскости KML.
а) Пусть отрезок SO — высота пирамиды. Основание О высоты правильной пирамиды является центром равностороннего треугольника ABC. Проведем отрезок CH — высоту основания. Тогда:
Введем систему координат с центром в точке О, как показано рисунке. В этой системе координат находим:
Если точка R делит отрезок PQ в отношении m : n, считая от точки А, то координаты точки R суть
Находим координаты точек K, L и M:
Зададим плоскость KLM определителем:
Вычисляя определитель, опуская промежуточные вычисления, находим уравнение плоскости KLM:
Вектором, перпендикулярным плоскости KLM, является 
Вектором, перпендикулярным плоскости ABC, является 
Найдем косинус угла φ между плоскостями ABC и KLM:
откуда угол между плоскостями ABC и KLM равен 30°.
б) Расстояние d от точки 
до плоскости 
равно
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 
