ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Тип 14 № 641933 Добавить в вариант

i

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки К и М соответственно, причём AK : KB  =  SM : MC  =  1 : 5. Плоскость α содержит прямую КМ и параллельна прямой BC.

а)  Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.

б)  Найдите угол между плоскостями α и SBC.

Решение.

а)  Через точки K и M в плоскостях ABC и SBC проведем прямые KL и MN, соответственно, параллельные прямой BC, K и N  — точки пересечения этих прямых с ребрами AB и SB, соответственно. Указанные прямые лежат в плоскости α, и четырехугольник KLMN  — сечение пирамиды этой плоскостью. Так как отрезок KL параллелен стороне BC, то по теореме Фалеса

$AL : LC = AK : KB = SM : MC,$

следовательно, по теореме, обратной теореме Фалеса, отрезки ML и SA параллельны. Таким образом, плоскость α параллельна стороне SA.

б)  Пусть плоскости SBC и α пересекаются по прямой MN. Обозначим T  — середину стороны BC, P  — точку пересечения отрезков AT и KL, Q  — точку пересечения отрезков ST и MN. Заметим, что прямые ST и AT перпендикулярны прямой BC как медианы равнобедренных треугольников. Следовательно, отрезок PQ перпендикулярен стороне BC по теореме о трех перпендикулярах. Таким образом, отрезок QT перпендикулярен отрезку MN. Отрезок PQ перпендикулярен отрезку MN, так как отрезок MN параллелен стороне BC. Следовательно, угол между плоскостями α и SBC равен углу PQT.

Заметим, что прямая PQ лежит в плоскости SAT и, следовательно, параллельна прямой SA, а потому $\angle PQT = \angle AST.$ Тогда:

$AT = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби BC = 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$

$ST = корень из: начало аргумента: SB в квадрате минус BT в квадрате конец аргумента = 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Запишем теорему косинусов для треугольника SAT:

$AT в квадрате = SA в квадрате плюс ST в квадрате минус 2 умножить на SA умножить на ST косинус \angle AST равносильно$
$равносильно 27 = 49 плюс 40 минус 2 умножить на 7 умножить на 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента косинус \angle AST равносильно косинус \angle AST = дробь: числитель: 31 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 140 конец дроби .$ $AT в квадрате = SA в квадрате плюс ST в квадрате минус 2 умножить на SA умножить на ST косинус \angle AST равносильно$
$равносильно 27 = 49 плюс 40 минус 2 умножить на 7 умножить на 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента косинус \angle AST равносильно$
$равносильно косинус \angle AST = дробь: числитель: 31 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 140 конец дроби .$

Таким образом, угол между плоскостями α и SAB равен  $арккосинус дробь: числитель: 31 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 140 конец дроби .$

Ответ: б)  $арккосинус дробь: числитель: 31 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 140 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 641933: 651030 651063 681090 Все

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 431

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 14 № 651030 Добавить в вариант

i

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 10, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки L и N соответственно, причём AL : LB  =  SN : NC  =  1 : 4. Плоскость α содержит прямую LN и параллельна прямой BC.

а)  Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.

б)  Найдите угол между плоскостями α и SBC.

Решение.

а)  Через точки L и N в плоскостях ABC и SBC проведем прямые KL и MN, соответственно, параллельные прямой BC, L и M  — точки пересечения этих прямых с ребрами AB и SB, соответственно. Указанные прямые лежат в плоскости α, и четырехугольник KLMN  — сечение пирамиды этой плоскостью. Так как отрезок KL параллелен стороне BC, то по теореме Фалеса

$AL : LB = SN : NC = SM : MB,$

следовательно, по теореме, обратной теореме Фалеса, отрезки ML и SA параллельны. Таким образом, плоскость α параллельна стороне SA.

б)  Пусть плоскости SBC и α пересекаются по прямой MN. Обозначим T  — середину стороны BC, P  — точку пересечения отрезков AT и KL, Q  — точку пересечения отрезков ST и MN. Заметим, что прямые ST и AT перпендикулярны прямой BC как медианы равнобедренных треугольников. Следовательно, отрезок PQ перпендикулярен стороне BC по теореме о трех перпендикулярах. Таким образом, отрезок QT перпендикулярен отрезку MN. Отрезок PQ перпендикулярен отрезку MN, так как отрезок MN параллелен стороне BC. Следовательно, угол между плоскостями α и SBC равен углу PQT.

Заметим, что прямая PQ лежит в плоскости SAT и, следовательно, параллельна прямой SA, а потому $\angle PQT = \angle AST.$ Тогда:

$AT = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби BC = 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$

$ST = корень из: начало аргумента: SB в квадрате минус BT в квадрате конец аргумента = 2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$

Запишем теорему косинусов для треугольника SAT:

$AT в квадрате = SA в квадрате плюс ST в квадрате минус 2 умножить на SA умножить на ST косинус \angle AST равносильно 75 = 49 плюс 24 минус 2 умножить на 7 умножить на 2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента косинус \angle AST равносильно косинус \angle AST = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 84 конец дроби .$ $AT в квадрате = SA в квадрате плюс ST в квадрате минус 2 умножить на SA умножить на ST косинус \angle AST равносильно$
$равносильно 75 = 49 плюс 24 минус 2 умножить на 7 умножить на 2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента косинус \angle AST равносильно косинус \angle AST = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 84 конец дроби .$ $AT в квадрате = SA в квадрате плюс ST в квадрате минус 2 умножить на SA умножить на ST косинус \angle AST равносильно$
$равносильно 75 = 49 плюс 24 минус 2 умножить на 7 умножить на 2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента косинус \angle AST равносильно$
$равносильно косинус \angle AST = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 84 конец дроби .$

Таким образом, угол между плоскостями α и SAB равен  $арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 84 конец дроби .$

Ответ: б)  $арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 84 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 641933: 651030 651063 681090 Все

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 14 № 651063 Добавить в вариант

i

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 10, а боковое ребро SA равно 6. На рёбрах AB и SC отмечены точки L и N соответственно, причём AL : LB  =  SN : NC  =  2 : 5. Плоскость α содержит прямую LN и параллельна прямой BC.

а)  Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.

б)  Найдите угол между плоскостями α и SBC.

Решение.

а)  Через точки L и N в плоскостях ABC и SBC проведем прямые KL и MN, соответственно, параллельные прямой BC, L и M  — точки пересечения этих прямых с ребрами AB и SB, соответственно. Указанные прямые лежат в плоскости α, и четырехугольник KLMN  — сечение пирамиды этой плоскостью. Так как отрезок KL параллелен стороне BC, то по теореме Фалеса

$AL : LB = SN : NC = SM : MB,$

следовательно, по теореме, обратной теореме Фалеса, отрезки ML и SA параллельны. Таким образом, плоскость α параллельна стороне SA.

б)  Пусть плоскости SBC и α пересекаются по прямой MN. Обозначим T  — середину стороны BC, P  — точку пересечения отрезков AT и KL, Q  — точку пересечения отрезков ST и MN. Заметим, что прямые ST и AT перпендикулярны прямой BC как медианы равнобедренных треугольников. Следовательно, отрезок PQ перпендикулярен стороне BC по теореме о трех перпендикулярах. Таким образом, отрезок QT перпендикулярен отрезку MN. Отрезок PQ перпендикулярен отрезку MN, так как отрезок MN параллелен стороне BC. Следовательно, угол между плоскостями α и SBC равен углу PQT.

Заметим, что прямая PQ лежит в плоскости SAT и, следовательно, параллельна прямой SA, а потому $\angle PQT = \angle AST.$ Тогда:

$AT = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби BC = 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$

$ST = корень из: начало аргумента: SB в квадрате минус BT в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента .$

Запишем теорему косинусов для треугольника SAT:

$AT в квадрате = SA в квадрате плюс ST в квадрате минус 2 умножить на SA умножить на ST косинус \angle AST равносильно$
$равносильно 75 = 36 плюс 11 минус 2 умножить на 6 умножить на корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента косинус \angle AST равносильно косинус \angle AST = минус дробь: числитель: 7 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента , знаменатель: 33 конец дроби .$ $AT в квадрате = SA в квадрате плюс ST в квадрате минус 2 умножить на SA умножить на ST косинус \angle AST равносильно$
$равносильно 75 = 36 плюс 11 минус 2 умножить на 6 умножить на корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента косинус \angle AST равносильно$
$равносильно косинус \angle AST = минус дробь: числитель: 7 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента , знаменатель: 33 конец дроби .$

Таким образом, угол между плоскостями α и SAB равен  $арккосинус дробь: числитель: 7 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента , знаменатель: 33 конец дроби .$

Ответ: б)  $арккосинус дробь: числитель: 7 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента , знаменатель: 33 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 641933: 651030 651063 681090 Все

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 14 № 681090 Добавить в вариант

i

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 8, а боковое ребро SA равно 5. На рёбрах AB и SC отмечены точки L и N соответственно так, что AL : LB  =  SN : NC  =  1 : 3. Плоскость α содержит прямую LN и параллельна прямой BC.

а)  Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.

б)  Найдите угол между плоскостями α и SBC.

Решение.

а)  Через точки L и N в плоскостях ABC и SBC проведем прямые KL и MN, соответственно, параллельные прямой BC, L и M  — точки пересечения этих прямых с ребрами AB и SB, соответственно. Указанные прямые лежат в плоскости α, и четырехугольник KLMN  — сечение пирамиды этой плоскостью. Так как отрезок KL параллелен стороне BC, то по теореме Фалеса

$AL : LB = SN : NC = SM : MB,$

следовательно, по теореме, обратной теореме Фалеса, отрезки ML и SA параллельны. Таким образом, плоскость α параллельна стороне SA.

б)  Пусть плоскости SBC и α пересекаются по прямой MN. Обозначим T  — середину стороны BC, P  — точку пересечения отрезков AT и KL, Q  — точку пересечения отрезков ST и MN. Заметим, что прямые ST и AT перпендикулярны прямой BC как медианы равнобедренных треугольников. Следовательно, отрезок PQ перпендикулярен стороне BC по теореме о трех перпендикулярах. Таким образом, отрезок QT перпендикулярен отрезку MN. Отрезок PQ перпендикулярен отрезку MN, так как отрезок MN параллелен стороне BC. Следовательно, угол между плоскостями α и SBC равен углу PQT.

Заметим, что прямая PQ лежит в плоскости SAT и, следовательно, параллельна прямой SA, а потому $\angle PQT = \angle AST.$ Тогда:

$AT = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби BC = 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$

$ST = корень из: начало аргумента: SB в квадрате минус BT в квадрате конец аргумента = 3.$

Запишем теорему косинусов для треугольника SAT:

$AT в квадрате = SA в квадрате плюс ST в квадрате минус 2 умножить на SA умножить на ST косинус \angle AST равносильно 48 = 25 плюс 9 минус 2 умножить на 5 умножить на 3 косинус \angle AST равносильно косинус \angle AST = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 15 конец дроби .$ $AT в квадрате = SA в квадрате плюс ST в квадрате минус 2 умножить на SA умножить на ST косинус \angle AST равносильно$
$равносильно 48 = 25 плюс 9 минус 2 умножить на 5 умножить на 3 косинус \angle AST равносильно косинус \angle AST = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 15 конец дроби .$ $AT в квадрате = SA в квадрате плюс ST в квадрате минус 2 умножить на SA умножить на ST косинус \angle AST равносильно$
$равносильно 48 = 25 плюс 9 минус 2 умножить на 5 умножить на 3 косинус \angle AST равносильно$
$равносильно косинус \angle AST = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 15 конец дроби .$

Таким образом, угол между плоскостями α и SAB равен  $арккосинус дробь: числитель: 7, знаменатель: 15 конец дроби .$

Ответ: б)  $арккосинус дробь: числитель: 7, знаменатель: 15 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 641933: 651030 651063 681090 Все

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 505

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь