а)  Через точки K и M в плос­ко­стях ABC и SBC про­ве­дем пря­мые KL и MN, со­от­вет­ствен­но, па­рал­лель­ные пря­мой BC, K и N  — точки пе­ре­се­че­ния этих пря­мых с реб­ра­ми AB и SB, со­от­вет­ствен­но. Ука­зан­ные пря­мые лежат в плос­ко­сти α, и че­ты­рех­уголь­ник KLMN  — се­че­ние пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью. Так как от­ре­зок KL па­рал­ле­лен сто­ро­не BC, то по тео­ре­ме Фа­ле­са

сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Фа­ле­са, от­рез­ки ML и SA па­рал­лель­ны. Таким об­ра­зом, плос­кость α па­рал­лель­на сто­ро­не SA.

б)  Пусть плос­ко­сти SBC и α пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой MN. Обо­зна­чим T  — се­ре­ди­ну сто­ро­ны BC, P  — точку пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AT и KL, Q  — точку пе­ре­се­че­ния от­рез­ков ST и MN. За­ме­тим, что пря­мые ST и AT пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой BC как ме­ди­а­ны рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков. Сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок PQ пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­не BC по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Таким об­ра­зом, от­ре­зок QT пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку MN. От­ре­зок PQ пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку MN, так как от­ре­зок MN па­рал­ле­лен сто­ро­не BC. Сле­до­ва­тель­но, угол между плос­ко­стя­ми α и SBC равен углу PQT.

За­ме­тим, что пря­мая PQ лежит в плос­ко­сти SAT и, сле­до­ва­тель­но, па­рал­лель­на пря­мой SA, а по­то­му Тогда:

За­пи­шем тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка SAT:

Таким об­ра­зом, угол между плос­ко­стя­ми α и SAB равен

Ответ: б)

a)  Пусть плос­кость пе­ре­се­ка­ет ребро SB в точке M. По­сколь­ку пря­мая BC па­рал­лель­на плос­ко­сти α, пря­мые MN и BC па­рал­лель­ны, а зна­чит,

Сле­до­ва­тель­но, пря­мые LM и SA па­рал­лель­ны. Таким об­ра­зом, плос­кость α, со­дер­жа­щая пря­мую LM, па­рал­лель­на пря­мой SA.

б)  Пусть точка H  — се­ре­ди­на ребра BC. Тогда ме­ди­а­ны AH и SH тре­уголь­ни­ков ABC и SBC со­от­вет­ствен­но яв­ля­ют­ся их вы­со­та­ми, а зна­чит, плос­кость ASH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC.

Сле­до­ва­тель­но, плос­кость ASH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α па­рал­лель­ной пря­мой BC, и плос­ко­сти SBC, со­дер­жа­щей пря­мую BC. Зна­чит, ис­ко­мый угол равен углу между пря­мой l, по ко­то­рой пе­ре­се­ка­ют­ся плос­ко­сти α и ASH, и пря­мой SH. Так как пря­мая l па­рал­лель­на пря­мой AS, этот угол равен углу ASH или смеж­но­му с ним. В тре­уголь­ни­ке ASH имеем: AS  =  7, тогда

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

Ответ: б)

a)  Пусть плос­кость пе­ре­се­ка­ет ребро SB в точке M. По­сколь­ку пря­мая BC па­рал­лель­на плос­ко­сти α, пря­мые MN и BC па­рал­лель­ны, а зна­чит,

Сле­до­ва­тель­но, пря­мые LM и SA па­рал­лель­ны. Таким об­ра­зом, плос­кость α, со­дер­жа­щая пря­мую LM, па­рал­лель­на пря­мой SA.

б)  Пусть точка H  — се­ре­ди­на ребра BC. Тогда ме­ди­а­ны AH и SH тре­уголь­ни­ков ABC и SBC со­от­вет­ствен­но яв­ля­ют­ся их вы­со­та­ми, а зна­чит, плос­кость ASH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC.

Сле­до­ва­тель­но, плос­кость ASH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α, па­рал­лель­ной пря­мой BC, и плос­ко­сти SBC, со­дер­жа­щей пря­мую BC. Зна­чит, ис­ко­мый угол равен углу между пря­мой l, по ко­то­рой пе­ре­се­ка­ют­ся плос­ко­сти и ASH, и пря­мой SH. Так как пря­мая l па­рал­лель­на пря­мой AS, этот угол равен углу ASH или смеж­но­му с ним. В тре­уголь­ни­ке ASH имеем: AS  =  6,

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

Зна­чит, угол ASH  — тупой, тогда угол между плос­ко­стя­ми α и SBC равен углу смеж­но­му с углом ASH и равен

Ответ: б)

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC от­ме­че­ны точки К и М со­от­вет­ствен­но, причём Плос­кость α со­дер­жит пря­мую КМ и па­рал­лель­на пря­мой BC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой SA.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми α и SBC.

а)  Через точки K и M в плос­ко­стях ABC и SBC про­ве­дем пря­мые KL и MN, со­от­вет­ствен­но, па­рал­лель­ные пря­мой BC, K и N  — точки пе­ре­се­че­ния этих пря­мых с реб­ра­ми AB и SB, со­от­вет­ствен­но. Ука­зан­ные пря­мые лежат в плос­ко­сти α, и че­ты­рех­уголь­ник KLMN  — се­че­ние пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью. Так как от­ре­зок KL па­рал­ле­лен сто­ро­не BC, то по тео­ре­ме Фа­ле­са

сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Фа­ле­са, от­рез­ки ML и SA па­рал­лель­ны. Таким об­ра­зом, плос­кость α па­рал­лель­на сто­ро­не SA.

б)  Пусть плос­ко­сти SBC и α пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой MN. Обо­зна­чим T  — се­ре­ди­ну сто­ро­ны BC, P  — точку пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AT и KL, Q  — точку пе­ре­се­че­ния от­рез­ков ST и MN. За­ме­тим, что пря­мые ST и AT пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой BC как ме­ди­а­ны рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков. Сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок PQ пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­не BC по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Таким об­ра­зом, от­ре­зок QT пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку MN. От­ре­зок PQ пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку MN, так как от­ре­зок MN па­рал­ле­лен сто­ро­не BC. Сле­до­ва­тель­но, угол между плос­ко­стя­ми α и SBC равен углу PQT.

За­ме­тим, что пря­мая PQ лежит в плос­ко­сти SAT и, сле­до­ва­тель­но, па­рал­лель­на пря­мой SA, а по­то­му Тогда:

За­пи­шем тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка SAT:

Таким об­ра­зом, угол между плос­ко­стя­ми α и SAB равен

Ответ: б)