ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 630119 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 319;

Задания 12 ЕГЭ–2022.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций, Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $косинус 2x плюс синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 1=0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

В силу нечетности синуса $синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = минус синус x,$ по формуле двойного угла $косинус 2x = 1 минус 2 синус в квадрате x,$ откуда получаем:

$косинус 2x плюс синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 1 = 1 минус 2 синус в квадрате x минус синус x минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x плюс синус x = 0 равносильно совокупность выражений синус x = 0, синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k,x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . k принадлежит Z .$ $косинус 2x плюс синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 1 = 1 минус 2 синус в квадрате x минус синус x минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x плюс синус x = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = 0, синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k,x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . k принадлежит Z .$

Разность между соседними членами в первой серии равна π, поэтому на отрезке $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 2 Пи правая квадратная скобка$ длиной 1,5π может лежать не более двух членов серии. Это числа π и 2π. Для двух других серий разность между соседними членами равна 2π, поэтому из каждой их них в отрезок может попасть не более одного члена. Эти члены суть $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ и $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи k, дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) π, $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ 2π.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 630119: 630155 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 319;

Задания 12 ЕГЭ–2022.

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 13 № 630155 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 321;

Задания 12 ЕГЭ–2022.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций, Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $косинус 2x плюс 3 синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2=0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 3 Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

$косинус 2x плюс 3 синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 = 1 минус 2 синус в квадрате x минус 3 синус x минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x плюс 3 синус x плюс 1= 0 равносильно совокупность выражений синус x = минус 1, синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $косинус 2x плюс 3 синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 = 1 минус 2 синус в квадрате x минус 3 синус x минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x плюс 3 синус x плюс 1= 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = минус 1, синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

Разность между соседними членами в первой серии равна 2π, поэтому на отрезке $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 3 Пи правая квадратная скобка$ длиной 1,5π может лежать не более одного члена серии. Это число $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$ Для двух других серий разность между соседними членами также равна 2π, поэтому из каждой их них в отрезок может попасть не более одного члена. В отрезок попадает число $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 630119: 630155 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 321;

Задания 12 ЕГЭ–2022.

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе