PDF-версии: 
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение. Преобразуем уравнение:
Тем самым в системе координат xOa исходное уравнение задаёт объединение дуг окружностей 
и 
соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках 
и 
Количество корней равнения равно количеству точек пересечения графика уравнения с горизонтальной прямой при соответствующем значении a.
Пользуясь построенным рисунком, получаем:
— при 
уравнение не имеет корней;
— при 
уравнение имеет один корень;
— при 
уравнение имеет два корня;
— при 
уравнение имеет три корня;
— при 
уравнение имеет четыре корня;
— при 
уравнение имеет три корня;
— при 
уравнение имеет два корня;
— при 
уравнение имеет три корня;
— при 
уравнение имеет четыре корня;
— при 
уравнение имеет три корня;
— при 
уравнение имеет два корня;
— при 
уравнение имеет один корень;
— при 
уравнение не имеет корней.
Таким образом, уравнение имеет ровно два различных корня при 
при или при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
и 
соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках 
и 
уравнение не имеет корней;
уравнение имеет один корень;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет четыре корня;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет четыре корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет один корень;
уравнение не имеет корней.
или при 
и 
соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках 
и 
уравнение не имеет корней;
уравнение имеет один корень;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет четыре корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет четыре корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет один корень;
уравнение не имеет корней.
или при 
