Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
Преобразуем второе уравнение следующим образом:
Следовательно, решениями системы являются пары вида 
и 
а потому система имеет четыре различных решения, если ее первое уравнение имеет два различных решения 
при 
и имеет два различных решения 
при 
Причем пара решений 
входит в оба случая, а потому соответствующее значение параметра необходимо исключить. Найдем его, подставив решение в первое уравнение исходной системы:
Подставим 
в первое уравнение исходной системы и преобразуем полученное уравнение к квадратному относительно переменной y виду. Получим:
При 
полученное уравнение решений не имеет, при прочих значениях параметра найдем дискриминант:
Уравнение имеет два различных корня 
если его дискриминант положителен, то есть при 
или при 
Подставим 
в первое уравнение исходной системы и преобразуем полученное уравнение к квадратному относительно переменной x виду. Получим:
При полученное уравнение является линейным и не может иметь двух корней, при прочих значениях параметра найдем дискриминант:
Найдем нули дискриминанта:
Следовательно, уравнение имеет два различных корня 
если 
или 
Таким образом, система имеет четыре решения при выполнении следующих условий:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a = 4. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен промежуток (4; +∞), возможно, с исключением граничной точки a = 4 и исключением точки a = 3 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности и прямых (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения параметра a, при котором система уравнений
Решим второе уравнение из системы:
Следовательно, решениями системы являются пары вида 
и 
а потому система имеет четыре различных решения, если ее первое уравнение имеет два различных решения при 
и имеет два различных решения при 
Причем пара решений 
входит в оба случая, а потому соответствующее значение параметра необходимо исключить. Найдем его, подставив пару чисел в первое уравнение исходной системы:
— неверно,
значит пара чисел не являются решением системы ни при каком значении a.
Подставим 
в первое уравнение исходной системы и преобразуем полученное уравнение к квадратному относительно переменной y виду. Получим:
При 
полученное уравнение будет линейным и не сможет иметь ровно два корня, при прочих значениях параметра найдем дискриминант:
Уравнение имеет два различных корня если его дискриминант положителен, то есть при 
или при 
Подставим 
в первое уравнение исходной системы и преобразуем полученное уравнение к квадратному относительно переменной x виду. Получим:
При полученное уравнение решений не имеет, при прочих значениях параметра найдем дискриминант:
Найдем нули дискриминанта:
Следовательно, уравнение имеет два различных корня при 
или при 
Таким образом, система имеет четыре решения при выполнении следующих условий:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки a = −2. | 3 |
| Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения, и получено или множество значений a, отличающиеся от искомого только включением точек a = 8, a = 3 и/или a = −2, или множество значений a, отличающиеся от искомого только включением точек a = 0, i> = −1 и/или i> = −2. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения параболы и лучей (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Наверх