РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

1.  Тип 18 № 562193 Добавить в вариант

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Координаты (x, a), Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$дробь: числитель: |x минус 6| плюс a минус 6, знаменатель: x в квадрате минус 10x плюс a в квадрате конец дроби = 0$

имеет ровно два различных корня.

Решение. Преобразуем исходное уравнение:

$дробь: числитель: |x минус 6| плюс a минус 6, знаменатель: x в квадрате минус 10x плюс a в квадрате конец дроби = 0 равносильно система выражений |x минус 6| = 6 минус a, x в квадрате минус 10x плюс a в квадрате не равно 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x = a, x = 12 минус a, конец системы . a меньше или равно 6, x в квадрате минус 10x плюс a в квадрате не равно 0. конец совокупности .$

Чтобы уравнение имело два различных корня, числа a и $12 минус a$ должны быть различны, поэтому $a не равно 12 минус a,$ откуда $a не равно 6.$ Таким образом, $a меньше 6,$ и ни одно из чисел a и $12 минус a$ не должно являться корнем уравнения $x в квадрате минус 10x плюс a в квадрате = 0.$ Подставляя эти числа в уравнение $x в квадрате минус 10x плюс a в квадрате ,$ найдем, при каких a они являются корнями:

1)  из $a в квадрате минус 10a плюс a в квадрате = 0$ получаем $a = 0$ или $a = 5$

2)  из $левая круглая скобка 12 минус a правая круглая скобка в квадрате минус 10 умножить на левая круглая скобка 12 минус a правая круглая скобка плюс a в квадрате = 0$ получаем:

$2a в квадрате минус 14a плюс 24 = 0 равносильно a в квадрате минус 7a плюс 12 = 0 равносильно совокупность выражений a = 3, a = 4. конец совокупности .$

Тем самым, $a меньше 6,$ $a не равно 0,$ $a не равно 3,$ $a не равно 4,$ $a не равно 5.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5; 6 правая круглая скобка .$

Примечание.

Решая аналогичную задачу 562192, мы привели более длинное графическое решение.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки a = −2.	3
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения, и получено или множество значений a, отличающиеся от искомого только включением точек a = 8, a = 3 и/или a = −2, или множество значений a, отличающиеся от искомого только включением точек a = 0, i> = −1 и/или i> = −2. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения параболы и лучей (аналитически или графически).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

562193

$левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5; 6 правая круглая скобка .$

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Координаты (x, a), Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

2.  Тип 18 № 562192 Добавить в вариант

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Координаты (x, a), Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$дробь: числитель: |3x| минус 2x минус 2 минус a, знаменатель: x в квадрате минус 2x минус a конец дроби =0$

имеет ровно два различных корня.

Решение. Корнями исходного уравнения являются те корни числителя, при которых не равен нулю знаменатель. Найдем корни числителя. При $x меньше или равно 0$ уравнение $|3x| минус 2x минус 2 минус a=0$ принимает вид $a= минус 5x минус 2$ и задаёт на плоскости xOa луч l₁ с началом в точке (0; −2). При $x больше или равно 0$ уравнение $|3x| минус 2x минус 2 минус a=0$ принимает вид $a=x минус 2$ и задаёт луч l₂ с началом в точке (0; −2). Значит, уравнение $|3x| минус 2x минус 2 минус a=0$ имеет два корня при $a больше минус 2,$ имеет один корень при $a= минус 2$ и не имеет корней $a меньше минус 2.$

Уравнение $x в квадрате минус 2x минус a=0$ задаёт параболу $a=x в квадрате минус 2x.$ Найдём координаты точек пересечения этой параболы с лучом l₁:

$система выражений новая строка a=x в квадрате минус 2x, новая строка a= минус 5x минус 2, новая строка x\leqslant0 конец системы . равносильно система выражений новая строка минус 5x минус 2=x в квадрате минус 2x, новая строка a= минус 5x минус 2, новая строка x\leqslant0 конец системы . равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =0, новая строка a= минус 5x минус 2, новая строка x\leqslant0. конец системы .$

Парабола $a=x в квадрате минус 2x$ пересекается с лучом l₁ в точках (−2; 8) и (−1; 3).

Найдём координаты точек пересечения этой параболы с лучом l₂:

$система выражений новая строка a=x в квадрате минус 2x, новая строка a=x минус 2, новая строка x\geqslant0 конец системы . равносильно система выражений новая строка x минус 2=x в квадрате минус 2x, новая строка a=x минус 2, новая строка x\geqslant0 конец системы . равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =0, новая строка a=x минус 2, новая строка x\geqslant0. конец системы .$

Парабола $a=x в квадрате минус 2x$ пересекается с лучом l₂ в точках (1; −1) и (2; 0).

Следовательно, условие $x в квадрате минус 2x минус a не равно 0$ выполнено для корней уравнения $|3x| минус 2x минус 2 минус a=0$ при всех a, кроме a  =  −1, a  =  0, a  =  3 и a  =  8. Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при $минус 2 меньше a меньше минус 1;$ $минус 1 меньше a меньше 0;$ $0 меньше a меньше 3;$ $3 меньше a меньше 8;$ $a больше 8.$

Ответ: $минус 2 меньше a меньше минус 1;$ $минус 1 меньше a меньше 0;$ $0 меньше a меньше 3;$ $3 меньше a меньше 8;$ $a больше 8.$

Примечание.

Решая аналогичную задачу 562193 мы привели более короткое аналитическое решение.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки a = −2.	3
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения, и получено или множество значений a, отличающиеся от искомого только включением точек a = 8, a = 3 и/или a = −2, или множество значений a, отличающиеся от искомого только включением точек a = 0, a = −1 и/или a = −2. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения параболы и лучей (аналитически или графически).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

562192

$минус 2 меньше a меньше минус 1;$ $минус 1 меньше a меньше 0;$ $0 меньше a меньше 3;$ $3 меньше a меньше 8;$ $a больше 8.$

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Координаты (x, a), Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562193	$левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5; 6 правая круглая скобка .$
2	562192	$минус 2 меньше a меньше минус 1;$ $минус 1 меньше a меньше 0;$ $0 меньше a меньше 3;$ $3 меньше a меньше 8;$ $a больше 8.$