ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 561175 Добавить в вариант

Источник: Пробный вариант ЕГЭ по математике 18.03.21 Санкт-Петербург. Вариант №1

Классификатор алгебры: Область определения уравнения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $тангенс x левая круглая скобка \ctg x минус косинус x правая круглая скобка =2 синус в квадрате x.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Запишем исходное уравнение в виде:

$тангенс x левая круглая скобка \ctg x минус косинус x правая круглая скобка =2 синус в квадрате x равносильно система выражений 2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1=0, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x= минус 1, конец системы . косинус x не равно 0. конец совокупности .$ $тангенс x левая круглая скобка \ctg x минус косинус x правая круглая скобка =2 синус в квадрате x равносильно$
$равносильно система выражений 2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1=0, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x= минус 1, конец системы . косинус x не равно 0. конец совокупности .$

Корни уравнения $синус x= минус 1$ не удовлетворяют условию $косинус x не равно 0.$ Тогда получаем:

$синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка ,$ с помощью единичной окружности. Получаем $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 561175: 561227 Все

Источник: Пробный вариант ЕГЭ по математике 18.03.21 Санкт-Петербург. Вариант №1

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 13 № 561227 Добавить в вариант

Источник: Пробный вариант ЕГЭ по математике 18.03.21 Санкт-Петербург. Вариант №2

Классификатор алгебры: Область определения уравнения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $2 косинус в квадрате x минус \ctg x левая круглая скобка синус x плюс тангенс x правая круглая скобка =0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Запишем исходное уравнение в виде:

$2 косинус в квадрате x минус \ctg x левая круглая скобка синус x плюс тангенс x правая круглая скобка =0 равносильно система выражений 2 косинус в квадрате x минус косинус x минус 1=0, синус x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x=1, конец системы . синус x не равно 0. конец совокупности .$ $2 косинус в квадрате x минус \ctg x левая круглая скобка синус x плюс тангенс x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно система выражений 2 косинус в квадрате x минус косинус x минус 1=0, синус x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x=1, конец системы . синус x не равно 0. конец совокупности .$

Корни уравнения $косинус x=1$ не удовлетворяют условию $синус x не равно 0.$ Тогда получаем:

$косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка ,$ с помощью единичной окружности. Получаем $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 561175: 561227 Все

Источник: Пробный вариант ЕГЭ по математике 18.03.21 Санкт-Петербург. Вариант №2

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе