Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, в которой сторона основания AB = 8, боковое ребро 
Точка Q — точка пересечения диагоналей грани ABB1А1, точки M, N и K — середины ВС, СC1 и А1C1 cответственно.
а) Докажите, что точки Q, M, N и K лежат в одной плоскости.
б) Найдите площадь сечения QMN.
а) Пусть точка T — середина ребра AB. Отметим сразу, что прямые QT и AB перпендикулярны, причем 
Заметим, что
Таким образом, прямые KN и QM параллельны, а значит, они лежат в одной плоскости.
б) Построим сечение QMN. Продлим KN до пересечения с продолжением AC в точке P, тогда треугольники KC1N и PCN равны по катету и острому углу, откуда
Теперь продлим отрезок PM до пересечения с AB в точке S. По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой SMP получим:
откуда AS : SB = 3. Далее, продлим SQ до пересечения с A1B1 в
Продлим SL и PK до пересечения в точке Z, лежащей на AA1. Тогда SLKNMS = SSZP − SMNP − SLZK. Заметим, что 
откуда следует, что SP : MP = 3 : 2, то есть 
Рассмотрим треугольники LA1K и SBM — они равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому 
Кроме того, LK параллельно SP как прямые, по которым плоскость пересекает параллельные основания призмы. Тогда треугольники ZKL и ZPS подобны с коэффициентом 3. Таким образом, 
потому ZK = KN. Аналогично ZL = LQ = QS, и треугольники ZPS и QMS подобны по трем сторонам с коэффициентом 3 — в пункте a) уже было доказано, что QM = KN.
Имеем:
Найдем площадь треугольника QMS. Вычислим для этого треугольника стороны:
Отсюда видно, что 
Таким образом, треугольник MSQ прямоугольный. Найдем его площадь:
Таким образом,
Ответ: б) 
Примечание.
Треугольник MSQ всегда прямоугольный, поскольку прямые SM и TC параллельны, а прямая TC и плоскость A1B1BA перпендикулярны. Поэтому прямые TC и QS перпендикулярны и прямые SM и QS тоже перпендикулярны.
Приведем решение Анны Букиной.
а) Отрезок KN — средняя линия треугольника A1C1C, следовательно, KN || A1C.
Отрезок QM — средняя линия треугольника A1BC, следовательно, QM || A1C.
Тогда KN || QM, следовательно, они лежат в одной плоскости.
б) Пусть T — середина AB, T1 — середина A1B1. Заметим, что точка Q — середина TT1, следовательно, 
тогда TQNC — прямоугольник, и QN || TC, QN = TC, QN параллельна основаниям призмы.
Пусть плоскость сечения α пересекает плоскость AA1B1 по прямой LS, где L — точка пересечения плоскости α и ребра A1B1, S — точка пересечения плоскости α и ребра AB.
Плоскость α проходит через прямую QN, параллельную основаниям призмы, следовательно, она пересекает основания призмы по прямым, параллельным QN. Тогда LK || QN || C1T1, LK — средняя линия треугольника A1C1T1, 
Заметим, что LK ⊥ A1T1, LK ⊥ A1A, следовательно, LK перпендикулярна плоскости A1B1В, а значит, и прямой LS.
Аналогично MS || QN || TC, 
MS перпендикулярна прямой LS.
Таким образом, QLKN и QNMS — прямоугольные трапеции.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, в которой сторона основания AB = 4, боковое ребро 
Точка Q — точка пересечения диагоналей грани ABB1А1, точки M, N и K — середины ВС, СC1 и А1C1 cответственно.
а) Докажите, что точки Q, M, N и K лежат в одной плоскости.
б) Найдите площадь сечения QMN.
а) Пусть точка T — середина ребра AB. Отметим сразу, что прямые QT и AB перпендикулярны, причем 
Заметим, что
Таким образом, прямые KN и QM параллельны, а значит, они лежат в одной плоскости.
б) Построим сечение QMN. Продлим KN до пересечения с продолжением AC в точке P, тогда треугольники KC1N и PCN равны по катету и острому углу, откуда
Теперь продлим отрезок PM до пересечения с AB в точке S. По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой SMP получим:
откуда AS : SB = 3. Далее, продлим SQ до пересечения с A1B1 в точке L. Эта точка симметрична S относительно Q, поэтому A1L : LB = 1 : 3. Пятиугольник LKNMS — искомое сечение. Найдем его площадь.
Продлим SL и PK до пересечения в точке Z, лежащей на AA1. Тогда SLKNMS = SSZP − SMNP − SLZK. Заметим, что откуда следует, что SP : MP = 3 : 2, то есть Рассмотрим треугольники LA1K и SBM — они равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому Кроме того, LK и SP параллельны как прямые, по которым плоскость пересекает параллельные основания призмы. Тогда треугольники ZKL и ZPS подобны с коэффициентом 3. Таким образом, 
потому ZK = KN. Аналогично ZL = LQ = QS и треугольники ZPS и QMS подобны по трем сторонам с коэффициентом 3 — в пункте a) уже было доказано, что QM = KN.
Имеем:
Найдем площадь треугольника QMS. Вычислим для этого треугольника стороны:
Отсюда видно, что 
поэтому треугольник MSQ прямоугольный. Найдем его площадь:
Таким образом,
Ответ: б) 
Примечание.
Треугольник MSQ всегда прямоугольный, поскольку прямые SM и TB параллельны, а прямая TB и плоскость A1B1BA перпендикулярны. Поэтому прямые TB и QS перпендикулярны, и прямые SM и QS тоже перпендикулярны.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Наверх