Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет ровно два различных решения.
Преобразуем систему:
Изобразим линии, соответствующие уравнениям и неравенству системы, в плоскости xOy. Каждое из двух уравнений 
задаёт пучок прямых, проходящих через начало координат, симметричных друг другу относительно оси ординат и совпадающих при 
(см. рис., выделено красным). Двойное неравенство 
задает внутреннюю часть горизонтальной полосы, ограниченной прямыми 
и 
Уравнение 
задает окружность с центром в точке 
и радиусом 
Дуга окружности, лежащая в указанной полосе, выделена на рисунке синим. Определим, при каком значении параметра а прямые, задаваемые уравнениями 
имеют с этой дугой окружности ровно две общие точки.
Количество решений системы при 
и 
одинаково. Поэтому искомые значения параметра симметричны относительно нуля. Рассмотрим случай 
Точка 
является решением при любом значении параметра a. Вторая точка пересечения соответствует следующим трем случаям.
— Пересечению с дугой окружности прямой 
если при этом прямая 
не пересекает дугу в точке, отличной от точки 
Этот случай реализуется при 
— Пересечению совпадающих при прямых с дугой окружности в точке (2; 0) — см. рис., выделено оранжевым.
— Пересечению с дугой окружности прямой в том случае, когда прямая является касательной, проходящей через точку Найдем уравнение такой касательной. Прямая, проходящая через начало координат, задается уравнением 
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть перпендикулярна прямой 
содержащий этот радиус (см. рис.). Две прямые на плоскости, отличные от координатных осей, перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1. Тем самым 
откуда 
Следовательно, искомое уравнение касательной есть 
что соответствует значениям 
При этом вторая прямая 
пересекает дугу в точке, отличной от начала координат, а значит, найденное значение параметра является искомым.
Объединяя полученные значения параметра с противоположными значениями, получаем, что система имеет ровно два различных решения при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены значения, отличающиеся от искомого только исключением не более двух из пяти точек a = −2, a = −0,5, a = 0, a = 0,5,a = 2. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены значения, отличающиеся от искомого только исключением более двух из пяти точек a = −2, a = −0,5, a = 0, a = 0,5, a = 2 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Преобразуем систему:
Изобразим линии, соответствующие уравнениям и неравенству системы, в плоскости xOy. Каждое из двух уравнений задаёт пучок прямых, проходящих через начало координат, симметричных друг другу относительно оси ординат и совпадающих при (см. рис., выделено красным). Двойное неравенство задает внутреннюю часть горизонтальной полосы, ограниченной прямыми и Уравнение 
задает окружность с центром в точке 
и радиусом 
Дуга окружности, лежащая в указанной полосе, выделена на рисунке синим. Определим, при каком значении параметра а прямые, задаваемые уравнениями имеют с этой дугой окружности ровно две общие точки.
Количество решений системы при и одинаково. Поэтому значения параметра симметричны относительно нуля. Рассмотрим случай Точка является решением при любом значении параметра a. Вторая точка пересечения соответствует следующим двум случаям.
— Пересечению совпадающих при прямых с дугой окружности в точке (8; 0) — см. рис., выделено оранжевым.
— Пересечению с дугой окружности прямой если при этом прямая не пересекает дугу в точке, отличной от точки Прямая не пересекает дугу в точке, отличной от точки 
при 
Прямая пересекает дугу в точке, отличной от точки 
если не является касательной. Найдем уравнение такой касательной. Прямая, проходящая через начало координат, задается уравнением Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть перпендикулярна прямой 
содержащий этот радиус (см. рис.). Две прямые на плоскости, отличные от координатных осей, перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1. Тем самым 
откуда 
Следовательно, искомое уравнение касательной есть 
что соответствует значениям 
Объединяя полученные значения параметра с противоположными значениями, получаем, что система имеет ровно два различных решения при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх