РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

1.  Тип 15 № 537135 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 307 (часть 2)

Классификатор алгебры: Область определения неравенства, Показательные уравнения и неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство $дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 8, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 8, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 8 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка плюс 96, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 64 конец дроби .$

Решение. Пусть $2 в степени x =t,$ тогда неравенство примет вид

$дробь: числитель: t плюс 8, знаменатель: t минус 8 конец дроби плюс дробь: числитель: t минус 8, знаменатель: t плюс 8 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 16t плюс 96, знаменатель: t в квадрате минус 64 конец дроби равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка в квадрате минус 16t минус 96, знаменатель: левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 2t в квадрате минус 16t плюс 32, знаменатель: левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 8t плюс 16, знаменатель: левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений t меньше минус 8,t=4,t больше 8. конец совокупности .$ $равносильно дробь: числитель: 2t в квадрате минус 16t плюс 32, знаменатель: левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 8t плюс 16, знаменатель: левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений t меньше минус 8,t=4,t больше 8. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений 2 в степени x меньше минус 8,2 в степени x =4,2 в степени x больше 8 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 в степени x =4,2 в степени x больше 8 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=2,x больше 3. конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

537135

$левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 307 (часть 2)

Классификатор алгебры: Область определения неравенства, Показательные уравнения и неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

2.  Тип 15 № 660736 Добавить в вариант

Источники:

Задания 15 ЕГЭ–2024;

ЕГЭ по математике 31.05.2024. Основная волна. Сибирь, Центр.

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов, Выделение полного квадрата, Разложение на множители

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство: $дробь: числитель: 3 в степени x минус 9, знаменатель: 3 в степени x плюс 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 3 в степени x плюс 9, знаменатель: 3 в степени x минус 9 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 12 умножить на 3 в степени x плюс 144, знаменатель: левая круглая скобка 3 в степени x минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени x плюс 9 правая круглая скобка конец дроби .$

Решение. Пусть $t=3 в степени x$ и $t больше 0.$ Подставим:

$дробь: числитель: t минус 9, знаменатель: t плюс 9 конец дроби плюс дробь: числитель: t плюс 9, знаменатель: t минус 9 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 12t плюс 144, знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: t минус 9, знаменатель: t плюс 9 конец дроби плюс дробь: числитель: t плюс 9, знаменатель: t минус 9 конец дроби минус дробь: числитель: 12t плюс 144, знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 12t плюс 144 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 18t плюс 81 плюс t в квадрате плюс 18t плюс 81 минус 12t минус 144, знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2t в квадрате минус 12t плюс 18, знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 6t плюс 9, знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t=3, t меньше минус 9, t больше 9 конец совокупности . \undersett больше 0 \mathop равносильно совокупность выражений t=3, t больше 9. конец совокупности .$ $дробь: числитель: t минус 9, знаменатель: t плюс 9 конец дроби плюс дробь: числитель: t плюс 9, знаменатель: t минус 9 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 12t плюс 144, знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: t минус 9, знаменатель: t плюс 9 конец дроби плюс дробь: числитель: t плюс 9, знаменатель: t минус 9 конец дроби минус дробь: числитель: 12t плюс 144, знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 12t плюс 144 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 18t плюс 81 плюс t в квадрате плюс 18t плюс 81 минус 12t минус 144, знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2t в квадрате минус 12t плюс 18, знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 6t плюс 9, знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t=3, t меньше минус 9, t больше 9 конец совокупности . \undersett больше 0 \mathop равносильно совокупность выражений t=3, t больше 9. конец совокупности .$ $дробь: числитель: t минус 9, знаменатель: t плюс 9 конец дроби плюс дробь: числитель: t плюс 9, знаменатель: t минус 9 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 12t плюс 144, знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: t минус 9, знаменатель: t плюс 9 конец дроби плюс дробь: числитель: t плюс 9, знаменатель: t минус 9 конец дроби минус дробь: числитель: 12t плюс 144, знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 12t плюс 144 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 18t плюс 81 плюс t в квадрате плюс 18t плюс 81 минус 12t минус 144, знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2t в квадрате минус 12t плюс 18, знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 6t плюс 9, знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t=3, t меньше минус 9, t больше 9 конец совокупности . \undersett больше 0 \mathop равносильно совокупность выражений t=3, t больше 9. конец совокупности .$ $дробь: числитель: t минус 9, знаменатель: t плюс 9 конец дроби плюс дробь: числитель: t плюс 9, знаменатель: t минус 9 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 12t плюс 144, знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t минус 9, знаменатель: t плюс 9 конец дроби плюс дробь: числитель: t плюс 9, знаменатель: t минус 9 конец дроби минус дробь: числитель: 12t плюс 144, знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 12t плюс 144 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 18t плюс 81 плюс t в квадрате плюс 18t плюс 81 минус 12t минус 144, знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2t в квадрате минус 12t плюс 18, знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 6t плюс 9, знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t=3, t меньше минус 9, t больше 9 конец совокупности . \undersett больше 0 \mathop равносильно совокупность выражений t=3, t больше 9. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной. Получим:

$совокупность выражений 3 в степени x =3, 3 в степени x больше 9 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=1, x больше 2. конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

660736

$левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источники:

Задания 15 ЕГЭ–2024;

ЕГЭ по математике 31.05.2024. Основная волна. Сибирь, Центр.

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов, Выделение полного квадрата, Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	537135	$левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$
2	660736	$левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$