ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 526911 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в квадрате плюс 20x плюс y в квадрате минус 20y плюс 75=|x в квадрате плюс y в квадрате минус 25|,x минус y=a конец системы .$

имеет более одного решения.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1)  Если $x в квадрате плюс y в квадрате больше или равно 25,$ имеем:

$x в квадрате плюс 20x плюс y в квадрате минус 20y плюс 75=x в квадрате плюс y в квадрате минус 25 равносильно y=x плюс 5.$

Полученное уравнение задает прямую с коэффицентом наклона $k=1$ и проходящую через точки $левая круглая скобка 0; 5 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка минус 5; 0 правая круглая скобка .$

2)  Если $x в квадрате плюс y в квадрате меньше 25,$ имеем:

$x в квадрате плюс 20x плюс y в квадрате минус 20y плюс 75= минус x в квадрате минус y в квадрате плюс 25 равносильно левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 5 правая круглая скобка в квадрате =5 в квадрате .$

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке $Q левая круглая скобка минус 5; 5 правая круглая скобка$ и радиусом 5.

Полученные прямая и окружность пересекаются в двух точках $A левая круглая скобка минус 5; 0 правая круглая скобка$ и $B левая круглая скобка 0; 5 правая круглая скобка ,$ лежащих на окружности $x в квадрате плюс y в квадрате =25,$ поэтому в первом случае получаем два луча l₁ и l₂ с концами в точках A и B соответсвенно, во втором  — дугу $\omega$ с концами в тех же точках точках (см. рис.). Заметим, что точка $C левая круглая скобка минус 5 плюс дробь: числитель: 5 корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби ; 5 минус дробь: числитель: 5 корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$ лежит на дуге $\omega$ и отрезок QC перпендикулярен прямой, полученной в первом случае.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задает прямую m, параллельную лучам l₁ и l₂ или содержащую их.

При $a= минус 5$ прямая m содержит лучи l₁ и l₂, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При $a=5 корень из 2 минус 10$ прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуги $\omega$ и не имеет общих точек с лучами l₁ и l₂, то есть исходная система имеет одно решение.

При $минус 5 меньше a меньше 5 корень из 2 минус 10$ прямая m пересекает дугу $\omega$ в двух точках и не имеет общих точек с лучами l₁ и l₂, то есть исходная система имеет два решения.

При $a меньше минус 5$ или $a больше 5 корень из 2 минус 10$ прямая m не имеет общих точек с лучами l₁ и l₂ и дугой $\omega,$ то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более одного решения при $минус 5 меньше или равно a меньше 5 корень из 2 минус 10.$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 5; 5 корень из 2 минус 10 правая круглая скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точки $a=5 корень из 2 минус 10$	3
При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуги окружности и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 526911: 526917 Все

Источники:

Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019;

А. Ларин. Тренировочный вариант № 364.

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 18 № 526917 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в квадрате минус 20x плюс y в квадрате плюс 20y плюс 75=|x в квадрате плюс y в квадрате минус 25|,x минус y=a конец системы .$

имеет более одного решения.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы. Рассмотрим два случая.

Если $x в квадрате плюс y в квадрате больше или равно 25,$ имеем:

$x в квадрате минус 20x плюс y в квадрате плюс 20y плюс 75=x в квадрате плюс y в квадрате минус 25 равносильно y=x минус 5.$

Полученное уравнение задает прямую с коэффициентом наклона $k=1$ и проходящую через точки $левая круглая скобка 0; минус 5 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 5; 0 правая круглая скобка .$

Если $x в квадрате плюс y в квадрате меньше 25,$ имеем:

$x в квадрате минус 20x плюс y в квадрате плюс 20y плюс 75= минус x в квадрате минус y в квадрате плюс 25,$

то есть $левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 5 правая круглая скобка в квадрате =5 в квадрате .$ Полученное уравнение задает окружность с центром в точке $Q левая круглая скобка 5; минус 5 правая круглая скобка$ и радиусом 5.

Эти прямая и окружность пересекаются в двух точках $A левая круглая скобка 5; 0 правая круглая скобка$ и $B левая круглая скобка 0; минус 5 правая круглая скобка ,$ лежащих на окружности $x в квадрате плюс y в квадрате =25,$ поэтому в первом случае получаем два луча l₁ и l₂ с концами в точках A и B соответственно, во втором  — дугу $\omega$ с концами в тех же точках точках (см. рис.). Заметим, что точка $C левая круглая скобка 5 минус дробь: числитель: 5 корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 5 плюс дробь: числитель: 5 корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$ лежит на дуге $\omega$ и отрезок QC перпендикулярен прямой, полученной в первом случае.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задает прямую m, параллельную лучам l₁ и l₂ или содержащую их.

При $a=5$ прямая m содержит лучи l₁ и l₂, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При $a= минус 5 корень из 2 плюс 10$ прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуги $\omega$ и не имеет общих точек с лучами l₁ и l₂, то есть исходная система имеет одно решение.

При $минус 5 корень из 2 плюс 10 меньше a меньше 5$ прямая m пересекает дугу $\omega$ в двух точках и не имеет общих точек с лучами l₁ и l₂, то есть исходная система имеет два решения.

При $a меньше минус 5 корень из 2 плюс 10$ или $a больше 5$ прямая m не имеет общих точек с лучами l₁ и l₂ и дугой $\omega,$ то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более одного решения при $минус 5 корень из 2 плюс 10 меньше a меньше или равно 5.$

Ответ: $левая круглая скобка минус 5 корень из 2 плюс 10 ; 5 правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точки $a= минус 5 корень из 2 плюс 10$	3
При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуги окружности и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 526911: 526917 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь