ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 526909 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Перебор случаев

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие радикалы

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: 5 минус 7x конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 9x в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 5 минус 7x конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка$

имеет ровно один корень.

Решение.

Запишем уравнение в виде $корень из: начало аргумента: 5 минус 7x конец аргумента умножить на левая круглая скобка \ln левая круглая скобка 9x в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка минус \ln левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка правая круглая скобка$ и рассмотрим два случая.

Первый случай: $корень из: начало аргумента: 5 минус 7x конец аргумента =0 равносильно x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби ,$ при выполнении условий

$система выражений 9x в квадрате минус a в квадрате больше 0,3x плюс a больше 0 конец системы .$

Имеем:

$система выражений x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби , дробь: числитель: 9 умножить на 25, знаменатель: 49 конец дроби минус a в квадрате больше 0, дробь: числитель: 3 умножить на 5, знаменатель: 7 конец дроби плюс a больше 0 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби , левая круглая скобка 7a минус 15 правая круглая скобка левая круглая скобка 7a плюс 15 правая круглая скобка меньше 0, a больше минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 конец дроби . конец системы .$

Для первого случая получаем: $минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 конец дроби .$

Второй случай: $\ln левая круглая скобка 9x в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка =\ln левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка$ при условии $x меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби .$

Имеем:

$система выражений 9x в квадрате минус a в квадрате =3x плюс a,3x плюс a больше 0,x меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус a минус 1 правая круглая скобка =0,3x плюс a больше 0, x меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби ,3x плюс a больше 0, совокупность выражений x= минус дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби ,x= дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно$ $система выражений 9x в квадрате минус a в квадрате =3x плюс a,3x плюс a больше 0,x меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус a минус 1 правая круглая скобка =0,3x плюс a больше 0, x меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби ,3x плюс a больше 0, совокупность выражений x= минус дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби ,x= дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений система выражений x= минус дробь: числитель: a}3, дробь: числитель: a}3 больше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби , минус 3 умножить на дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс a больше 0 конец системы . система выражений x= дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 1 плюс a, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби , 3 умножить на дробь: числитель: 1 плюс a, знаменатель: 3 конец дроби плюс a больше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x= минус дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби ,a больше или равно дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 конец дроби ,0 умножить на a больше 0 конец системы . система выражений x= дробь: числитель: {, знаменатель: a конец дроби плюс 1, знаменатель: 3 конец дроби ,a меньше или равно дробь: числитель: 8, знаменатель: 7 конец дроби ,a больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше или равно дробь: числитель: 8, знаменатель: 7 конец дроби ,x= дробь: числитель: {, знаменатель: a конец дроби плюс 1, знаменатель: 3 конец дроби . конец системы .$

Корни уравнения $x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби$ и $x= дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: 3 конец дроби$ совпадают при $a= дробь: числитель: 8, знаменатель: 7 конец дроби .$

Интервал из первого случая полностью включает в себя полуинтервал из второго случая, а решение нам требуется только одно, поэтому исходное уравнение имеет ровно один корень при $минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 конец дроби меньше a меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ и $дробь: числитель: 8, знаменатель: 7 конец дроби меньше или равно a меньше дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 7 конец дроби ; дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только исключением точек $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ и / или $a= дробь: числитель: 8, знаменатель: 7 конец дроби$	3
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a $левая круглая скобка a= минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 конец дроби , a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,a= дробь: числитель: 8, знаменатель: 7 конец дроби , a= дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка ,$ но неверно определены промежутки значений a ИЛИ верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений a из-за вычислительной ошибки	2
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен один из промежутков $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 конец дроби ; дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка$ или $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 8, знаменатель: 7 конец дроби правая квадратная скобка ,$ возможно, с исключением граничной точки выполнены все решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 526909: 526910 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип 18 № 526910 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Перебор случаев

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие радикалы

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: 2 минус 5x конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 36x в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 2 минус 5x конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 6x плюс a правая круглая скобка$

имеет ровно один корень.

Решение.

Запишем уравнение в виде $корень из: начало аргумента: 2 минус 5x конец аргумента умножить на левая круглая скобка \ln левая круглая скобка 36x в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка минус \ln левая круглая скобка 6x плюс a правая круглая скобка правая круглая скобка$ и рассмотрим два случая.

Первый случай: $корень из: начало аргумента: 2 минус 5x конец аргумента =0 равносильно x= дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ,$ при выполнении условий

$система выражений 36x в квадрате минус a в квадрате больше 0,6x плюс a больше 0 конец системы .$

Имеем:

$система выражений x= дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби , дробь: числитель: 4 умножить на 36, знаменатель: 25 конец дроби минус a в квадрате больше 0, дробь: числитель: 2 умножить на 6, знаменатель: 5 конец дроби плюс a больше 0 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби , левая круглая скобка 5a минус 12 правая круглая скобка левая круглая скобка 5a плюс 12 правая круглая скобка больше 0, a больше минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби . конец системы .$

Для первого случая получаем: $минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби .$

Второй случай: $\ln левая круглая скобка 36x в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка =\ln левая круглая скобка 6x плюс a правая круглая скобка$ при условии $x меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби .$

Имеем:

$система выражений 36x в квадрате минус a в квадрате =6x плюс a,6x плюс a больше 0,x меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка 6x плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка 6x минус a минус 1 правая круглая скобка =0,6x плюс a больше 0, x меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ,6x плюс a больше 0, совокупность выражений x= минус дробь: числитель: a, знаменатель: 6 конец дроби ,x= дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: 6 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно$ $система выражений 36x в квадрате минус a в квадрате =6x плюс a,6x плюс a больше 0,x меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 6x плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка 6x минус a минус 1 правая круглая скобка =0,6x плюс a больше 0, x меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ,6x плюс a больше 0, совокупность выражений x= минус дробь: числитель: a, знаменатель: 6 конец дроби ,x= дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: 6 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений система выражений x= минус дробь: числитель: a}6, дробь: числитель: a}6 больше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби , минус 6 умножить на дробь: числитель: a, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка плюс a больше 0 конец системы . система выражений x= дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: 6 конец дроби , дробь: числитель: 1 плюс a, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби , 6 умножить на дробь: числитель: 1 плюс a, знаменатель: 6 конец дроби плюс a больше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x= минус дробь: числитель: a, знаменатель: 6 конец дроби ,a больше или равно дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби ,0 умножить на a больше 0 конец системы . система выражений x= дробь: числитель: {, знаменатель: a конец дроби плюс 1, знаменатель: 6 конец дроби ,a меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби ,a больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби ,x= дробь: числитель: {, знаменатель: a конец дроби плюс 1, знаменатель: 6 конец дроби . конец системы .$

Корни уравнения $x= дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби$ и $x= дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: 6 конец дроби$ совпадают при $a= дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби .$

Так как интервал из первого случая полностью включает в себя полуинтервал из второго случая, а решение нам требуется только одно, то исходное уравнение имеет ровно один корень при $минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби меньше a меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ и $дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно a меньше дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только исключением точек $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ и / или $a= дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби$	3
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a $левая круглая скобка a= минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби , a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,a= дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби , a= дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка ,$ но неверно определены промежутки значений a ИЛИ верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений a из-за вычислительной ошибки	2
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен один из промежутков $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка$ или $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка ,$ возможно, с исключением граничной точки выполнены все решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 526909: 526910 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе