ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 526907 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Задача с параметром. Аналитическое решение систем

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в степени 4 плюс y в квадрате =a в квадрате , x в квадрате плюс y=|a плюс 1| конец системы .$

имеет ровно четыре решения.

Решение.

Подставим значение y из второго уравнения в первое:

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только тогда, когда биквадратное уравнение

$2x в степени 4 минус 2|a плюс 1|x в квадрате плюс 2a плюс 1=0$

имеет ровно четыре различных корня. Это выполняется, когда квадратное уравнение

$2t в квадрате минус 2|a плюс 1|t плюс 2a плюс 1=0$

имеет ровно два положительных корня.

Чтобы полученное квадратное уравнение имело два корня, его дискриминант должен быть положительным:

$левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 4a плюс 2 правая круглая скобка больше 0 равносильно a в квадрате минус 2a минус 1 больше 0 равносильно левая круглая скобка a минус 1 минус корень из 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 плюс корень из 2 правая круглая скобка больше 0,$ $левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 4a плюс 2 правая круглая скобка больше 0 равносильно a в квадрате минус 2a минус 1 больше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус 1 минус корень из 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 плюс корень из 2 правая круглая скобка больше 0,$

откуда $a меньше 1 минус корень из 2$ или $a больше 1 плюс корень из 2 .$

Чтобы корни полученного квадратного уравнения были одного знака, свободный член этого уравнения должен быть положительным:

$2a плюс 1 больше 0,$

откуда $a больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Чтобы корни квадратного уравнения были положительными, коэффициент при t должен быть отрицательным, то есть $a не равно минус 1.$

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения при $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше 1 минус корень из 2$ и $a больше 1 плюс корень из 2 .$

Ответ: $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 минус корень из 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1 плюс корень из 2 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только включением точек $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $a=1 минус корень из 2$ и / или $a=1 плюс корень из 2 .$	3
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a $левая круглая скобка a=1 минус корень из 2 , a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,a=1 плюс корень из 2 правая круглая скобка ,$ но неверно определены промежутки значений a. ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения.	2
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получены два промежутка $левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 минус корень из 2 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 1 плюс корень из 2 ; плюс бесконечность правая круглая скобка ,$ возможно, с включением граничных точек. ИЛИ Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 526907: 526908 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип 18 № 526908 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Задача с параметром. Аналитическое решение систем

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в степени 4 плюс y в квадрате =a в квадрате минус 1, x в квадрате минус y=|a минус 1| конец системы .$

имеет ровно четыре решения.

Решение.

Подставим значение y из второго уравнения в первое:

$2x в степени 4 минус 2|a минус 1|x в квадрате плюс 2 минус 2a=0$

имеет ровно четыре различных корня. Это выполняется, когда квадратное уравнение

$2t в квадрате минус 2|a минус 1|t плюс 2 минус 2a=0$

имеет ровно два положительных корня.

Чтобы полученное квадратное уравнение имело два корня, его дискриминант должен быть положительным:

$левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 4 минус 4a правая круглая скобка больше 0 равносильно a в квадрате плюс 2a минус 3 больше 0 равносильно левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка больше 0,$

откуда $a меньше минус 3$ или $a больше 1.$

$2 минус 2a больше 0,$

откуда $a меньше 1.$

Чтобы корни квадратного уравнения были положительными, коэффициент при t должен быть отрицательным, то есть $a не равно 1.$

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения

при $a меньше минус 3.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а	2
задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 526907: 526908 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе