ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 526905 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Задача с параметром. Аналитическое решение систем

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка y плюс 2=0,xy минус 1=x минус y конец системы .$

имеет ровно четыре различных решения.

Решение.

Второе уравнение системы приведем к виду $левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка =0.$ То есть $совокупность выражений x= минус 1,y=1. конец совокупности .$

Рассмотрим два случая, подставив эти значения в первое уравнение системы.

1)   $x= минус 1:$

$левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс y в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка y плюс 2=0 равносильно левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка y в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка y плюс 4=0.$ $левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс y в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка y плюс 2=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка y в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка y плюс 4=0.$

Если $a= минус 1,$ то уравнение не имеет корней.

Если $a не равно минус 1,$ имеем квадратное уравнение относительно y. Его дискриминант должен быть положительным.

$система выражений левая круглая скобка a в квадрате плюс 2a плюс 1 правая круглая скобка минус 16 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка больше 0 ,a не равно минус 1 конец системы . равносильно система выражений a в квадрате минус 14a минус 15 больше 0,a не равно минус 1 конец системы . равносильно совокупность выражений a меньше минус 1,a больше 15. конец совокупности .$

Таким образом, при $a меньше минус 1$ или $a больше 15$ две пары чисел $левая круглая скобка минус 1; y_1 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка минус 1; y_2 правая круглая скобка$ являются решениями исходной системы.

2)   $y=1:$

$левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка плюс 2=0 равносильно левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x плюс 2a плюс 4=0.$ $левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка плюс 2=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x плюс 2a плюс 4=0.$

Если $a= минус 1,$ имеем: $x=1.$

Если $a не равно минус 1,$ имеем квадратное уравнение относительно x. Его дискриминант должен быть положительным.

$система выражений левая круглая скобка a в квадрате минус 2a плюс 1 правая круглая скобка минус 8 левая круглая скобка a в квадрате плюс 3a плюс 2 правая круглая скобка больше 0,a не равно минус 1 конец системы . равносильно система выражений 7a в квадрате плюс 26a плюс 15 меньше 0,a не равно минус 1 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 3 меньше a меньше минус 1, минус 1 меньше a меньше минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби . конец совокупности .$ $система выражений левая круглая скобка a в квадрате минус 2a плюс 1 правая круглая скобка минус 8 левая круглая скобка a в квадрате плюс 3a плюс 2 правая круглая скобка больше 0,a не равно минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 7a в квадрате плюс 26a плюс 15 меньше 0,a не равно минус 1 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 3 меньше a меньше минус 1, минус 1 меньше a меньше минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби . конец совокупности .$

Таким образом, при $минус 3 меньше a меньше минус 1$ или $минус 1 меньше a меньше минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби$ две пары чисел $левая круглая скобка x_1; 1 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка x_2; 1 правая круглая скобка$ являются решениями исходной системы.

Найдём значение параметра, при котором решения из первого и второго случая совпадают, то есть решением системы является пара чисел $левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка :$

$2 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка плюс 2=0 равносильно a= минус 3.$

Пересекая полученные промежутки из первого и второго случаев, исключая случай совпадения решений, получаем итоговый ответ: $минус 3 меньше a меньше минус 1.$

Ответ: $левая круглая скобка минус 3; минус 1 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а.	2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: $левая круглая скобка минус 3; минус 1 правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 526905: 526906 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип 18 № 526906 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Задача с параметром. Аналитическое решение систем

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений a левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка минус ax плюс левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка y плюс 1=0,xy минус 1=y минус x конец системы .$

имеет ровно четыре различных решения.

Решение.

Второе уравнение системы приведем к виду $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка =0.$ То есть $совокупность выражений x=1,y= минус 1. конец совокупности .$

Рассмотрим два случая, подставив эти значения в первое уравнение системы.

1)   $x=1:$

$a левая круглая скобка 1 плюс y в квадрате правая круглая скобка минус a плюс левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка y плюс 1=0 равносильно ay в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка y плюс 1=0.$

Если $a=0,$ то $y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Если $a не равно 0,$ имеем квадратное уравнение относительно y. Его дискриминант должен быть положительным.

$система выражений левая круглая скобка a в квадрате минус 6a плюс 9 правая круглая скобка минус 4a больше 0,a не равно 0 конец системы . равносильно система выражений a в квадрате минус 10a плюс 9 больше 0,a не равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений a меньше 0,0 меньше a меньше 1,a больше 9. конец совокупности .$

Таким образом, при $a меньше 0,$ $0 меньше a меньше 1$ или $a больше 9$ две пары чисел $левая круглая скобка 1; y_1 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 1; y_2 правая круглая скобка$ являются решениями исходной системы.

1)   $y= минус 1:$

$a левая круглая скобка 1 плюс x в квадрате правая круглая скобка минус ax минус a плюс 3 плюс 1=0 равносильно ax в квадрате минус ax плюс 4=0.$

Если $a=0,$ то уравнение не имеет корней.

Если $a не равно 0,$ имеем квадратное уравнение относительно x. Его дискриминант должен быть положительным.

$система выражений a в квадрате минус 16a больше 0,a не равно 0 конец системы . равносильно система выражений a левая круглая скобка a минус 16 правая круглая скобка больше 0,a не равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений a меньше 0,a больше 16. конец совокупности .$

Таким образом, при $a меньше 0$ или $a больше 16$ две пары чисел $левая круглая скобка x_1; минус 1 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка x_2; минус 1 правая круглая скобка$ являются решениями исходной системы.

Найдём значение параметра, при котором решения из первого и второго случая совпадают, то есть решением системы является пара чисел $левая круглая скобка 1; минус 1 правая круглая скобка :$

$2a минус a минус a плюс 3 плюс 1=0 равносильно 0 умножить на a плюс 4=0.$

Значит, пара чисел $левая круглая скобка 1; минус 1 правая круглая скобка$ ни при каких значених параметра не является решением исходной системы.

Пересекая полученные промежутки из первого и второго случаев, получаем итоговый ответ: $a меньше 0, a больше 16.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 16; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а	2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 526905: 526906 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе