Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно шесть решений.
При 
второе уравнение системы, а значит, и вся система не имеют решений.
Если a = 0, то получаем систему 
которая имеет единственное решение 
Рассмотрим случай 
Имеем
Графиком первого уравнения системы являются две параллельные прямые (на рисунке изображены красным цветом), совпадающие при 
Заметим, что при любых положительных значениях a эти две прямые лежат ниже прямой 
Графиком второго уравнения системы являются две гиперболы 
(на рисунке изображены синим цветом). Если две прямые совпадают, то у системы не может быть больше четырёх решений. Поэтому 
При этом условии гипербола 
пересекает каждую из прямых в двух различных точках. Это дает четыре различных решения данной системы (на рисунке — синие точки).
Еще два решения должны получаться при пересечении прямых гиперболой 
в двух различных точках в четвертой координатной четверти. Для этого нужно, чтобы гипербола дважды пересекала одну из прямых (на рисунке — красные точки), и не имела общих точек с другой прямой. (Ситуация, при которой каждая из прямых имеет одну общую точку с гиперболой и эти точки различны, невозможна.) Для этого нужно, чтобы из двух квадратных уравнений
и 
одно имело ровно два различных корня, а другое не имело корней. Дискриминанты этих уравнений должны быть противоположных знаков. Получаем:
Учитывая, что 
приходим к ответу.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только включением точек a = 1, и / или a =  | 3 |
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a  но неверно определены промежутки значений a ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получены два промежутка  и  возможно, с включением граничных точекИЛИ задача верно сведена к исследованию взаимного расположения гипербол и прямых (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно восемь решений.
При второе уравнение системы, а, значит, и вся система не имеют решений.
Если a = 0, то получаем систему которая имеет единственное решение
Рассмотрим случай Имеем
Графиком первого уравнения системы являются две параллельные прямые (на рисунке изображены красным цветом), совпадающие при
Графиком второго уравнения системы являются две гиперболы (на рисунке изображены синим цветом). Если две прямые совпадают, то у системы не может быть больше четырёх решений. Поэтому
При этом условии гипербола пересекает каждую из прямых в двух различных точках. Это дает четыре различных решения данной системы (на рисунке — синие точки).
Еще четыре решения системы (на рисунке — красные точки) получаются при пересечении каждой из прямых гиперболой в двух различных точках. Для этого нужно, чтобы каждое из двух квадратных уравнений
или
имело два различных корня. Дискриминанты этих уравнений должны быть положительны. Получаем:
Учитывая, что 
приходим к ответу.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только включением точек a = 1, и / или a = | 3 |
| В решении верно найдены все граничные точки множества значений a но неверно определены промежутки значений a ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получены два промежутка  и  возможно, с включением граничной точкиИЛИ задача верно сведена к исследованию взаимного расположения гипербол и прямых (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх