Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
имеет единственное решение на отрезке 
Уравнение имеет решения при любом a из множества значений функции 
определённой на отрезке 
Найдём множество значений функции на данном отрезке.
Вычислим производную: 
Решим уравнение 
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Найдем значение функции на концах отрезка и в точке максимума:
Для вычисления значений синуса и косинуса величины 
обратимся к рисунку: тангенс отмеченного острого угла прямоугольного треугольника равен 2, синус и косинус этого угла находим как отношение катетов к гипотенузе.
Итак, функция 
на отрезке 
возрастает, принимая значения из отрезка 
а на отрезке 
убывает, принимая значения из отрезка 
Поэтому уравнение имеет единственное решение при 
и 
Ответ: 
Приведем другое решение.
Преобразуем выражение, задающее функцию путем введения вспомогательного угла:
где 
Заметим, что 
и поскольку функция 
достигает своего максимального значения 1 в нуле, то функция достигает максимума равного 
в точке 
Остается найти значения функции на концах отрезка:
Таким образом, функция на отрезке возрастает, принимая значения из отрезка а на отрезке убывает, принимая значения из отрезка Поэтому уравнение имеет единственное решение при и
Приведём ещё одно решение.
Пусть 
Тогда 
а уравнение записывается в виде 
Введём систему координат zOy и отметим на окружности ω, задаваемой уравнением 
точки 
и 
соответствующие повороту точки с координатами (1; 0) на угол 
и 
соответственно (см. рис.). Исходное уравнение имеет единственное решение на отрезке 
тогда и только тогда, когда прямая l, задаваемая уравнением 
имеет с меньшей дугой АВ окружности ω единственную общую точку.
Пусть прямая l проходит через точку А при 
проходит через точку В при 
и касается окружности ω при 
Тогда искомыми являются все значения параметра из полуинтервала 
и 
Подставляя координаты точек A и B в уравнение прямой l, находим:
Значение aC определим следующим образом: касанию прямой и окружности соответствует единственное решение системы уравнений 
и 
то есть единственное решение уравнения 
Приведем его к виду 
и найдем дискриминант 
который обращается в нуль при 
Касанию прямой и окружности в I четверти соответствует положительное значение параметра, тем самым, 
Итак, и
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все значения a, но некоторые граничные точки включены/исключены неверно. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены не все значения a. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке
Рассмотрим функцию 
Производная этой функции равна 
Значит, функция f(x) возрастает на отрезке 
убывает на отрезке 
и достигает максимума в точке 
Заметим, что 
Значит, 
Таким образом, уравнение 
имеет на отрезке 
ровно один корень при 
и 
имеет ровно два корня при 
и не имеет корней при остальных значениях а.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все значения a, но некоторые граничные точки включены/исключены неверно | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены не все значения a | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Наверх