Сумма чисел от 1 до 13 равна 91.

а)  Если число 5 стоит на по­след­нем месте, то сумма преды­ду­щих чисел равна 86. Но 86 не де­лит­ся на 5. Про­ти­во­ре­чие.

б)  Пусть на по­след­нем месте стоит число х. Тогда сумма всех преды­ду­щих чисел равна 91 − х, и по усло­вию она де­лит­ся на х. Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

где k  — на­ту­раль­ное число. По­лу­чен­ная дробь со­кра­ти­ма, толь­ко если зна­ме­на­тель равен 1, 7, 13 или 91, тогда дробь равна 91, 13, 7 или 1 со­от­вет­ствен­но. По­сколь­ку x не боль­ше 13, за­клю­ча­ем, что на по­след­нем месте могут сто­ять толь­ко числа 13, 7 или 1. Оста­лось про­ве­рить, что остав­ши­е­ся числа можно рас­ста­вить в со­от­вет­ствии с тре­бо­ва­ни­я­ми усло­вия.

При­мер рас­ста­нов­ки, окан­чи­ва­ю­щей­ся чис­лом 1: 12, 6, 9, 3, 10, 8, 4, 13, 5, 7, 11, 2, 1.

При­мер рас­ста­нов­ки, окан­чи­ва­ю­щей­ся чис­лом 7: 9, 3, 4, 8, 2, 13, 1, 10, 5, 11, 6, 12, 7.

При­мер рас­ста­нов­ки, окан­чи­ва­ю­щей­ся чис­лом 13: 11, 1, 2, 7, 3, 8, 4, 9, 5, 10, 12, 6, 13.

в)  На тре­тьем месте может быть шесть чет­ных чисел. При­ве­дем при­ме­ры со­от­вет­ству­ю­щих рас­ста­но­вок:

Ответ: а)  нет; б)  1, 7 или 13; в)  шесть.

Сумма чисел от 1 до 10 равна 55.

а)  Если число 7 стоит на по­след­нем месте, то сумма преды­ду­щих чисел равна 48. Но 48 не де­лит­ся на 7. Про­ти­во­ре­чие.

б)  Пусть на по­след­нем месте стоит число х. Тогда сумма всех преды­ду­щих чисел равна 55 − х, и, по усло­вию, она де­лит­ся на х. Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

где k  — на­ту­раль­ное число. По­лу­чен­ная дробь со­кра­ти­ма, толь­ко если зна­ме­на­тель равен 1, 5, 11 или 55, тогда дробь равна 55, 11, 5 или 1 со­от­вет­ствен­но. По­сколь­ку x не боль­ше 10, за­клю­ча­ем, что на по­след­нем месте могут сто­ять толь­ко числа 5 или 1. Оста­лось про­ве­рить, что остав­ши­е­ся числа можно рас­ста­вить в со­от­вет­ствии с тре­бо­ва­ни­я­ми усло­вия.

При­мер рас­ста­нов­ки, окан­чи­ва­ю­щей­ся чис­лом 5: 7, 1, 8, 4, 10, 6, 9, 3, 2, 5.

При­мер рас­ста­нов­ки, окан­чи­ва­ю­щей­ся чис­лом 1: 10, 2, 6, 3, 7, 4, 8, 5, 9, 1.

в)  На тре­тьем месте может быть пять чисел: 2, 4, 6, 8 10. При­ве­дем при­ме­ры со­от­вет­ству­ю­щих рас­ста­но­вок:

Ответ: а) нет, б) 1 или 5, в) пять.