Все целые числа от 1 до 10 выписали в ряд так, что каждое число, начиная со второго, является делителем суммы всех предыдущих чисел.
а) Может ли на последнем месте стоять число 7?
б) Какие числа могут быть на последнем месте?
в) Сколько четных чисел может стоять на третьем месте?
Сумма чисел от 1 до 10 равна 55.
а) Если число 7 стоит на последнем месте, то сумма предыдущих чисел равна 48. Но 48 не делится на 7. Противоречие.
б) Пусть на последнем месте стоит число х. Тогда сумма всех предыдущих чисел равна 55 − х, и, по условию, она делится на х. Следовательно, 
откуда
где k — натуральное число. Полученная дробь сократима, только если знаменатель равен 1, 5, 11 или 55, тогда дробь равна 55, 11, 5 или 1 соответственно. Поскольку x не больше 10, заключаем, что на последнем месте могут стоять только числа 5 или 1. Осталось проверить, что оставшиеся числа можно расставить в соответствии с требованиями условия.
Пример расстановки, оканчивающейся числом 5: 7, 1, 8, 4, 10, 6, 9, 3, 2, 5.
Пример расстановки, оканчивающейся числом 1: 10, 2, 6, 3, 7, 4, 8, 5, 9, 1.
в) На третьем месте может быть пять чисел: 2, 4, 6, 8 10. Приведем примеры соответствующих расстановок:
Ответ: а) нет, б) 1 или 5, в) пять.