Тип 14 № 521995 
Стереометрическая задача. Сечения пирамид
i
В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MC.
а) Докажите, что сечение плоскостью α пирамиды MABC является параллелограммом.
б) Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью α.
Решение. 
а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Плоскость α пересекает плоскость BMC по отрезку KL. Плоскость α параллельна ребру MC, поэтому KL || MC, следовательно, KL — средняя линия треугольника BMC, а L — середина ВС. Плоскость α проходит через QK — среднюю линию треугольника MAB — и, следовательно, параллельна AB. Таким образом, пересекает плоскость основания по прямой, параллельной AB — средней линии треугольника АВС, — и проходит через точку O — середину отрезка AC. Значит, сечение — четырёхугольник QKLO, в котором стороны QK и LO параллельны отрезку AB и равны его половине. Значит, QKLO — параллелограмм.
б) Отметим точку F — середину отрезка QK — и рассмотрим плоскость MOF. Прямая QK перпендикулярна прямым FM и MO, следовательно, она перпендикулярна плоскости MFO, поэтому она перпендикулярна отрезку OF. Таким образом, отрезок OF служит высотой параллелограмма QKLO. Сечение пирамиды MABCD плоскостью MOF — равнобедренный
треугольник NMG. Отрезок OF является медианой прямоугольного треугольника MOG, проведённой к его гипотенузе, поэтому 
По условию треугольник AMC прямоугольный и равнобедренный, поэтому
и то же верно для других боковых рёбер. Следовательно, все боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Тогда 
и 
Площадь параллелограмма 
Ответ: 
Примечание от Олега Берковского.
Площадь сечения можно найти проще. Легко доказывается, что сечение KLOQ является ромбом со стороной 3. Меньшая диагональ КО данного ромба также равная 3 (можно получить, рассмотрев треугольник МОВ). Следовательно, ромб состоит из 2-х равносторонних треугольников со стороной 3. Значит, острый угол ромба равен 60 градусов.
Отсюда площадь ромба 
Примечание.
Обращаем внимание читателей на то, что в задаче требуется найти площадь сечения пирамиды MABC, то есть треугольной пирамиды, которая является частью заданной четырехугольной пирамиды.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: 
параллельная ребру MC.
и 
