СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 521995

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MC.

а) Докажите, что сечение плоскостью α пирамиды MABC является параллелограммом.

б) Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью α.

Решение.

а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Плоскость α пересекает плоскость BMC по отрезку KL. Так как плоскость α параллельна ребру MC, то KL || MC, следовательно, KL — средняя линия треугольника AMC, а L — середина ВС. Плоскость α проходит через QK — среднюю линию треугольника MAB, и, следовательно, параллельна AB. Таким образом, пересекает плоскость основания по прямой параллельной AB — средней линии треугольника АВС и проходит через точку O — середину отрезка AC. Значит, сечение — четырёхугольник QKLO, в котором стороны QK и LO параллельны отрезку AB и равны его половине. Значит, QKLO —параллелограмм.

б) Отметим точку F — середину отрезка QK и рассмотрим плоскость MOF. Прямая QK перпендикулярна прямым FM и MO, следовательно, она перпендикулярна плоскости MFO, поэтому она перпендикулярна отрезку OF. Таким образом, отрезок OF служит высотой параллелограмма QKLO. Сечение пирамиды MABCD плоскостью MOF — равнобедренный

треугольник NMG. Отрезок OF является медианой прямоугольного треугольника MOG, проведённой к его гипотенузе, поэтому

По условию треугольник AMC прямоугольный и равнобедренный, поэтому

 

 

и то же верно для других боковых рёбер. Следовательно, все боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Тогда и

Площадь параллелограмма

 

Ответ:

 

Примечание от Олега Берковского.

Площадь сечения можно найти проще. Легко доказывается, что сечение KLOQ является ромбом со стороной 3. Меньшая диагональ КО данного ромба также равная 3 (можно получить, рассмотрев треугольник МОВ). Следовательно ромб состоит из 2-х равносторонних треугольников со стороной 3. Значит острый угол ромба равен 60 градусов.

 

Отсюда площадь ромба


Аналоги к заданию № 521995: 522095 Все

Классификатор стереометрии: Площадь сечения, Правильная четырёхугольная пирамида, Сечение -- параллелограмм, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой
Спрятать решение · · Видеокурс · Курс Д. Д. Гущина ·
Илья Исыпов 14.05.2019 08:21

Добрый день, KLOQ , обозначенное на рисунке как сечение, является частью сечения, тк чтобы построить сечение нужно OL продолжить до пересечения с AD, в результате сечением является равнобокая трапеция с отношением оснований 1:2

Александр Иванов

Илья, если Вы внимательно прочитаете условие задачи, то согласитесь с тем, что наше решение верное