ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 519809 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Замена переменной

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения

а)  Решите уравнение $2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =3.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Запишем уравнение в виде $2 в степени левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =3.$ Сделаем замену $y=2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка .$ Получаем:

$дробь: числитель: 2, знаменатель: y конец дроби плюс y=3 равносильно дробь: числитель: y в квадрате минус 3y плюс 2, знаменатель: y конец дроби =0 равносильно совокупность выражений y = 1,y = 2. конец совокупности .$

Тогда $2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка = 1$ или $2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка = 2,$ откуда $косинус в квадрате x=0$ или $косинус в квадрате x=1.$

Тогда $косинус x=0, косинус x= минус 1$ или $косинус x=1,$ откуда $x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,$ где $n принадлежит Z .$

б)  Отберём корни на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка$ с помощью единичной окружности. Получаем $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус 2 Пи , минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби$ и $минус Пи .$

Ответ: а) $x= левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ;n принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус 2 Пи , минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 519809: 519828 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип 13 № 519828 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Замена переменной

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения

а)  Решите уравнение $3 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =4.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Запишем уравнение в виде $3 в степени левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =4.$ Сделаем замену $y=3 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка .$

Получаем $дробь: числитель: 3, знаменатель: y конец дроби плюс y=4 равносильно дробь: числитель: y в квадрате минус 4y плюс 3, знаменатель: y конец дроби =0 равносильно совокупность выражений y = 1,y = 3. конец совокупности$

Тогда $3 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =1$ или $3 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =3,$ откуда $косинус в квадрате x=0$ или $косинус в квадрате x=1.$

б)  Отберём корни на отрезке $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ с помощью единичной окружности. Получаем $минус 2 Пи , минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус Пи$ и $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $x= левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ;n принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 2 Пи , минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус Пи , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 519809: 519828 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 1 комментарий · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе