а)  Пусть CO пе­ре­се­ка­ет AB в точке F, OB₁ пе­ре­се­ка­ет AB в точке E, CO пе­ре­се­ка­ет BB₁ в точке G, а углы A, B и C со­от­вет­ствен­но α, β и γ. По­ка­жем, что от­ре­зок AB₁ виден из точек O и B под одним и тем же углом  — это будет озна­чать, что точки A, B₁, B, O лежат на одной окруж­но­сти.

В тре­уголь­ни­ке CGB имеем:

Тогда

В тре­уголь­ни­ке OGB имеем: тогда

Тре­уголь­ник B₁OB рав­но­бед­рен­ный, по­сколь­ку GO  — се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к BB₁. По­это­му

В тре­уголь­ни­ке ABC точка O    — ин­центр, по­это­му Сле­до­ва­тель­но,

б)  Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка AOBB₁ най­дем по фор­му­ле За­ме­тим, что B₁O  =  OB, по­сколь­ку тре­уголь­ник B₁OB рав­но­бед­рен­ный, и что из тре­уголь­ни­ка EOB.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC, в нем Далее опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OH на сто­ро­ну BC. Тогда как ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти. Тогда от­ку­да

Далее имеем:

Тогда

Ответ: б) 18.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

а)  Пусть CO пе­ре­се­ка­ет BB₁ в точке G, а угол C равен γ. В тре­уголь­ни­ке B₁CB от­ре­зок CG яв­ля­ет­ся вы­со­той и ме­ди­а­ной, тогда тре­уголь­ник B₁CB рав­но­бед­рен­ный, от­ре­зок CG яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой, сле­до­ва­тель­но, луч CB₁ сов­па­да­ет с лучом CA, и точка A лежит на от­рез­ке CB₁. В тре­уголь­ни­ке CGB₁ имеем:

В тре­уголь­ни­ке ABC точка O  — ин­центр, по­это­му

Сле­до­ва­тель­но, в че­ты­рех­уголь­ни­ке B₁AOB имеем:

а по­то­му че­ты­рех­уголь­ник B₁AOB впи­сан­ный, и точки B₁, A, O, B лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка AOBB₁ най­дем как сумму пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков: Причём где r  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ный в тре­уголь­ник ABC. Для сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние сле­до­ва­тель­но, угол C пря­мой. Тогда

от­ку­да

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABB₁ най­дем как раз­ность пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BCB₁ и ABC:

В ре­зуль­та­те по­лу­чим

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) На­та­льи Лес­ни­чен­ко.

За­ме­тим, что

Вы­со­ты тре­уголь­ни­ков AOC и AOB равны ра­ди­у­су окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Для сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние сле­до­ва­тель­но, угол C пря­мой. Тогда

Сле­до­ва­тель­но,

а)  Луч CO яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла ACB, по­это­му точка B₁ лежит на от­рез­ке AC (рис. 1). Луч BO яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла ABC, по­это­му

Зна­чит, около четырёхуголь­ни­ка ABOB₁ можно опи­сать окруж­ность.

б)  Тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный (рис. 2), по­сколь­ку Ра­ди­ус r впи­сан­ной в него окруж­но­сти равен

Най­дем пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ABC, BOC и B₁OC:

Ответ: б) 12.