РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

1.  Тип 15 № 517816 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка минус 13, знаменатель: \log в квадрате _3x плюс логарифм по основанию 3 x в степени 4 конец дроби \leqslant1.$

Решение. Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка минус 13, знаменатель: \log в квадрате _3x плюс логарифм по основанию 3 x в степени 4 конец дроби \leqslant1 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 9 плюс логарифм по основанию 3 x минус 13, знаменатель: \log в квадрате _3x плюс 4 логарифм по основанию 3 x конец дроби \leqslant1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 x минус 11, знаменатель: \log в квадрате _3x плюс 4 логарифм по основанию 3 x конец дроби минус 1 \leqslant0 равносильно дробь: числитель: \log в квадрате _3x плюс 3 логарифм по основанию 3 x плюс 11, знаменатель: \log в квадрате _3x плюс 4 логарифм по основанию 3 x конец дроби \geqslant0.$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка минус 13, знаменатель: \log в квадрате _3x плюс логарифм по основанию 3 x в степени 4 конец дроби \leqslant1 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 9 плюс логарифм по основанию 3 x минус 13, знаменатель: \log в квадрате _3x плюс 4 логарифм по основанию 3 x конец дроби \leqslant1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 x минус 11, знаменатель: \log в квадрате _3x плюс 4 логарифм по основанию 3 x конец дроби минус 1 \leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \log в квадрате _3x плюс 3 логарифм по основанию 3 x плюс 11, знаменатель: \log в квадрате _3x плюс 4 логарифм по основанию 3 x конец дроби \geqslant0.$

Пусть $логарифм по основанию 3 x$   =  t, тогда

$дробь: числитель: t в квадрате плюс 3t плюс 11, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби t левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно совокупность выражений t больше 0,t меньше минус 4. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной, получим:

$совокупность выражений логарифм по основанию 3 x больше 0, логарифм по основанию 3 x меньше минус 4 конец совокупности .\undersetОДЗ\mathop равносильно совокупность выражений x больше 1,0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 81. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность \left правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

517816

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность \left правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

2.  Тип 15 № 517817 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 64x правая круглая скобка минус 2, знаменатель: \log в квадрате _4x плюс логарифм по основанию 4 x в кубе конец дроби \geqslant минус 1.$

Решение. Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 64x правая круглая скобка минус 2, знаменатель: \log в квадрате _4x плюс логарифм по основанию 4 x в кубе конец дроби \geqslant минус 1 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 4 64 плюс логарифм по основанию 4 x минус 2, знаменатель: \log в квадрате _4x плюс 3 логарифм по основанию 4 x конец дроби \geqslant минус 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 4 x плюс 1, знаменатель: \log в квадрате _4x плюс 3 логарифм по основанию 4 x конец дроби плюс 1 \geqslant0 равносильно дробь: числитель: \log в квадрате _4x плюс 4 логарифм по основанию 4 x плюс 1, знаменатель: \log в квадрате _4x плюс 3 логарифм по основанию 4 x конец дроби \geqslant0.$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 64x правая круглая скобка минус 2, знаменатель: \log в квадрате _4x плюс логарифм по основанию 4 x в кубе конец дроби \geqslant минус 1 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 4 64 плюс логарифм по основанию 4 x минус 2, знаменатель: \log в квадрате _4x плюс 3 логарифм по основанию 4 x конец дроби \geqslant минус 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 4 x плюс 1, знаменатель: \log в квадрате _4x плюс 3 логарифм по основанию 4 x конец дроби плюс 1 \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \log в квадрате _4x плюс 4 логарифм по основанию 4 x плюс 1, знаменатель: \log в квадрате _4x плюс 3 логарифм по основанию 4 x конец дроби \geqslant0.$

Пусть $логарифм по основанию 4 x = t,$ тогда:

$дробь: числитель: t в квадрате плюс 4t плюс 1, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус левая круглая скобка минус 2 минус корень из 3 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка t минус левая круглая скобка минус 2 плюс корень из 3 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений t\leqslant минус 2 минус корень из 3 , минус 3 меньше t\leqslant минус 2 плюс корень из 3 ,t больше 0. конец совокупности .$ $дробь: числитель: t в квадрате плюс 4t плюс 1, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус левая круглая скобка минус 2 минус корень из 3 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка t минус левая круглая скобка минус 2 плюс корень из 3 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t\leqslant минус 2 минус корень из 3 , минус 3 меньше t\leqslant минус 2 плюс корень из 3 ,t больше 0. конец совокупности .$ $дробь: числитель: t в квадрате плюс 4t плюс 1, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус левая круглая скобка минус 2 минус корень из 3 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка t минус левая круглая скобка минус 2 плюс корень из 3 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t\leqslant минус 2 минус корень из 3 , минус 3 меньше t\leqslant минус 2 плюс корень из 3 ,t больше 0. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной, получим:

$совокупность выражений логарифм по основанию 4 x\leqslant минус 2 минус корень из 3 , минус 3 меньше логарифм по основанию 4 x\leqslant минус 2 плюс корень из 3 , логарифм по основанию 4 x больше 0 конец совокупности .\undersetОДЗ\mathop равносильно совокупность выражений 0 меньше x\leqslant4 в степени левая круглая скобка минус 2 минус корень из 3 правая круглая скобка , дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 64 меньше x\leqslant4 в степени левая круглая скобка минус 2 плюс корень из 3 правая круглая скобка ,x больше 1. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0;4 в степени левая круглая скобка минус 2 минус корень из 3 правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 64;4 в степени левая круглая скобка минус 2 плюс корень из 3 правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

517817

$левая круглая скобка 0;4 в степени левая круглая скобка минус 2 минус корень из 3 правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 64;4 в степени левая круглая скобка минус 2 плюс корень из 3 правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

3.  Тип 15 № 517818 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 36x правая круглая скобка минус 1, знаменатель: \log в квадрате _6x минус логарифм по основанию 6 x в кубе конец дроби \geqslant0.$

Решение. Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 36x правая круглая скобка минус 1, знаменатель: \log в квадрате _6x минус логарифм по основанию 6 x в кубе конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 6 36 плюс логарифм по основанию 6 x минус 1, знаменатель: \log в квадрате _6x минус 3 логарифм по основанию 6 x конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 6 x плюс 1, знаменатель: \log в квадрате _6x минус 3 логарифм по основанию 6 x конец дроби \geqslant0.$

Пусть $логарифм по основанию 6 x = t,$ тогда:

$дробь: числитель: t плюс 1, знаменатель: t левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений минус 1 меньше или равно t меньше 0,t больше 3. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной, получим:

$совокупность выражений минус 1 меньше или равно логарифм по основанию 6 x меньше 0, логарифм по основанию 6 x больше 3 конец совокупности .\underset\mathop равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно x меньше 1,x больше 216. конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 216; плюс бесконечность \left правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

517818

$левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 216; плюс бесконечность \left правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

4.  Тип 15 № 548182 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 320. (Часть C)

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка минус 13, знаменатель: логарифм по основанию 3 в квадрате x плюс логарифм по основанию 3 x в степени 4 конец дроби меньше или равно 1.$

Решение. Преобразуем неравенство:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка минус 13, знаменатель: логарифм по основанию 3 в квадрате x плюс логарифм по основанию 3 x в степени 4 конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 9 плюс логарифм по основанию 3 x минус 13, знаменатель: логарифм по основанию 3 в квадрате x плюс 4 логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно 1.$

Пусть $логарифм по основанию 3 x =t,$ тогда

$дробь: числитель: 2 плюс t минус 13, знаменатель: t в квадрате плюс 4t конец дроби \leqslant1 равносильно дробь: числитель: минус t в квадрате минус 3t минус 11, знаменатель: t в квадрате плюс 4t конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате плюс 3t плюс 11, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 1,5 правая круглая скобка в квадрате плюс 8,75, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений t меньше минус 4,t больше 0. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 2 плюс t минус 13, знаменатель: t в квадрате плюс 4t конец дроби \leqslant1 равносильно дробь: числитель: минус t в квадрате минус 3t минус 11, знаменатель: t в квадрате плюс 4t конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате плюс 3t плюс 11, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 1,5 правая круглая скобка в квадрате плюс 8,75, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений t меньше минус 4,t больше 0. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 2 плюс t минус 13, знаменатель: t в квадрате плюс 4t конец дроби \leqslant1 равносильно дробь: числитель: минус t в квадрате минус 3t минус 11, знаменатель: t в квадрате плюс 4t конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате плюс 3t плюс 11, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 1,5 правая круглая скобка в квадрате плюс 8,75, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений t меньше минус 4,t больше 0. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений логарифм по основанию 3 x меньше минус 4, логарифм по основанию 3 x больше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби ,x больше 1. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

548182

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 320. (Часть C)

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	517816	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность \left правая круглая скобка .$
2	517817	$левая круглая скобка 0;4 в степени левая круглая скобка минус 2 минус корень из 3 правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 64;4 в степени левая круглая скобка минус 2 плюс корень из 3 правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$
3	517818	$левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 216; плюс бесконечность \left правая круглая скобка .$
4	548182	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$