Ясно, что наи­боль­шим яв­ля­ет­ся пер­вый платёж, со­от­вет­ству­ю­щий мак­си­маль­ной сумме долга. Пусть кре­дит пла­ни­ру­ет­ся взять на n лет. Пер­вый платёж при вы­пла­те диф­фе­рен­ци­ру­е­мы­ми пла­те­жа­ми равен млн руб. По усло­вию эта ве­ли­чи­на равна 3,6 млн руб., от­ку­да По фор­му­ле для вы­пла­ты В при опла­те кре­ди­та S, взя­то­го под r% го­до­вых, имеем:

По­это­му

О ре­ше­нии таких за­да­ний см. Гущин Д. Д. «Встре­чи с фи­нан­со­вой ма­те­ма­ти­кой».

При­ведём ав­тор­ское ре­ше­ние.

Долг перед бан­ком (в млн руб­лей) по со­сто­я­нию на июль дол­жен умень­шать­ся до нуля рав­но­мер­но:

По усло­вию каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 20%, зна­чит, по­сле­до­ва­тель­ность раз­ме­ров долга (в млн руб­лей) в ян­ва­ре та­ко­ва:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты (в млн руб­лей) долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

По­лу­ча­ем от­ку­да Зна­чит, всего сле­ду­ет вы­пла­тить

Ответ: 14,4 млн руб­лей.

Пусть кре­дит пла­ни­ру­ет­ся взять на n лет. Долг перед бан­ком (в млн руб­лей) по со­сто­я­нию на июль дол­жен умень­шать­ся до нуля рав­но­мер­но:

По усло­вию, каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 10%, зна­чит, по­сле­до­ва­тель­ность раз­ме­ров долга (в млн руб­лей) в ян­ва­ре та­ко­ва:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты (в млн руб­лей) долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

По­лу­ча­ем: от­ку­да Зна­чит, всего сле­ду­ет вы­пла­тить

При­ведём дру­гое ре­ше­ние:

По усло­вию долг умень­ша­ет­ся по ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Пер­вая вы­пла­та равна

Вто­рая вы­пла­та равна

Тре­тья вы­пла­та равна

Чет­вер­тая вы­пла­та равна и так далее.

Зна­чит, наи­боль­шая вы­пла­та  — пер­вая, d  =  0,6, то есь всего будет 15 вы­плат и они со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью

Общая вы­пла­та равна

Ответ: 16,2 млн руб.

Пусть кре­дит пла­ни­ру­ет­ся взять на n лет. Долг перед бан­ком (в млн руб­лей) по со­сто­я­нию на июль дол­жен умень­шать­ся до нуля рав­но­мер­но:

По усло­вию, каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 10%, зна­чит, по­сле­до­ва­тель­ность раз­ме­ров долга (в млн руб­лей) в ян­ва­ре та­ко­ва:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты (в млн руб­лей) долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

По­лу­ча­ем: от­ку­да Зна­чит, всего сле­ду­ет вы­пла­тить

Ответ: 26,35.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

По усло­вию долг умень­ша­ет­ся по ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Пер­вая вы­пла­та равна

Вто­рая вы­пла­та равна

Тре­тья вы­пла­та равна

Чет­вер­тая вы­пла­та равна и так далее.

Зна­чит, наи­боль­шая вы­пла­та  — пер­вая, d  =  1,7, вы­плат  — 10 штук и они со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, но с раз­но­стью

Общая вы­пла­та равна

Ответ: 26,35.

Пусть кре­дит пла­ни­ру­ет­ся взять на n лет. Долг перед бан­ком (в млн руб­лей) по со­сто­я­нию на июль дол­жен умень­шать­ся до нуля рав­но­мер­но:

По усло­вию, каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 25%, зна­чит, по­сле­до­ва­тель­ность раз­ме­ров долга (в млн руб­лей) в ян­ва­ре та­ко­ва:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты (в млн руб­лей) долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

По­лу­ча­ем: от­ку­да Зна­чит, всего сле­ду­ет вы­пла­тить

Ответ: 80,5.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

По усло­вию долг умень­ша­ет­ся по ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Пер­вая вы­пла­та равна

Вто­рая вы­пла­та равна

Тре­тья вы­пла­та равна

Чет­вер­тая вы­пла­та равна и так далее.

Зна­чит, наи­боль­шая вы­пла­та  — пер­вая, d  =  2, вы­плат  — 14 штук и они со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, но с раз­но­стью

Общая вы­пла­та равна

Ответ: 80,5.

Пусть кре­дит пла­ни­ру­ет­ся взять на n лет. Долг перед бан­ком (в млн руб­лей) по со­сто­я­нию на июль дол­жен умень­шать­ся до нуля рав­но­мер­но:

По усло­вию, каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 10%, зна­чит, по­сле­до­ва­тель­ность раз­ме­ров долга (в млн руб­лей) в ян­ва­ре та­ко­ва:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты (в млн руб­лей) долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

По­лу­ча­ем от­ку­да Зна­чит, всего сле­ду­ет вы­пла­тить

Ответ: 16,2 млн руб­лей.