а)  Из рав­но­бед­рен­но­сти тре­уголь­ни­ков сле­до­ва­тель­но, AC  — бис­сек­три­са угла BAD.

б)  По­сколь­ку BA = BD = BC = 8,5, точки A, D и C лежат на окруж­но­сти ра­ди­у­са 8,5 с цен­тром в точке B. Про­дол­жим ос­но­ва­ние BC за точку B до пе­ре­се­че­ния с этой окруж­но­стью в точке  E. Тогда EC   — диа­метр окруж­но­сти, а ADCE  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция. По­это­му AE  =  CD, а по­сколь­ку точка A лежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром CE, по­лу­ча­ем, что Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CAE на­хо­дим, что Сле­до­ва­тель­но, CD  =  AE  =  8.

Ответ: 8.

При­ве­дем ре­ше­ние Ан­дрея Бе­ло­бо­ро­до­ва.

а)  Впи­шем тра­пе­цию в окруж­ность так, чтобы от­рез­ки были ее ра­ди­у­са­ми. Тогда углы BCA и CAD равны как на­крест ле­жа­щие, а углы BCA и BAC равны, по­сколь­ку тре­уголь­ник  ABC рав­но­бед­рен­ный. По­лу­ча­ем: то есть AC  — бис­сек­три­са угла BAD.

б)  По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC:

Из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства найдём По тео­ре­ме си­ну­сов:

а)   сле­до­ва­тель­но, AC  — бис­сек­три­са угла

б)  По­сколь­ку , точки A, D и C лежат на окруж­но­сти ра­ди­у­са 6,5 с цен­тром в точке Про­дол­жим ос­но­ва­ние BC за точку B до пе­ре­се­че­ния с этой окруж­но­стью в точке Тогда   — диа­метр окруж­но­сти, а ADCE  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция. По­это­му а так как точка A лежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром CE, по­лу­ча­ем, что Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CAE на­хо­дим, что Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 5.