Тип 17 № 516277 
Планиметрическая задача. Четырехугольники и их свойства
i
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5.
Решение. 
а) Из равнобедренности треугольников 
следовательно, AC — биссектриса угла BAD.
б) Поскольку BA = BD = BC = 8,5, точки A, D и C лежат на окружности радиуса 8,5 с центром в точке B. Продолжим основание BC за точку B до пересечения с этой окружностью в точке E. Тогда EC — диаметр окружности, а ADCE — равнобедренная трапеция. Поэтому AE = CD, а поскольку точка A лежит на окружности с диаметром CE, получаем, что 
Из прямоугольного треугольника CAE находим, что 
Следовательно, CD = AE = 8.
Ответ: 8.
Приведем решение Андрея Белобородова.
а) Впишем трапецию в окружность так, чтобы отрезки 
были ее радиусами. Тогда углы BCA и CAD равны как накрест лежащие, а углы BCA и BAC равны, поскольку треугольник ABC равнобедренный. Получаем: 
то есть AC — биссектриса угла BAD.
б) По теореме косинусов в треугольнике ABC:
Из основного тригонометрического тождества найдём 
По теореме синусов:
Спрятать критерииКритерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: 8.
