а)  Пусть углы при ос­но­ва­нии ВС рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равны 2α, тогда углы при ос­но­ва­нии BD рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка LBD равны α. Но угол LCB яв­ля­ет­ся внеш­ним углом тре­уголь­ни­ка LCD, он равен сумме углов CDL и CLD. По­это­му угол CLD также равен α, и, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник LCD рав­но­бед­рен­ный.

б)  Пусть ВС  =  х, а АК  — ме­ди­а­на и вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка АВС. Тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АКВ имеем: от­ку­да

Бис­сек­три­са BL делит сто­ро­ну, к ко­то­рой она про­ве­де­на, на от­рез­ки, про­пор­ци­о­наль­ные при­ле­жа­щим сто­ро­нам: по­сколь­ку по­лу­ча­ем: В пунк­те а) было до­ка­за­но, что тре­уголь­ник LCD рав­но­бед­рен­ный, по­это­му При­ме­ним тео­ре­му Ме­не­лая к тре­уголь­ни­ку ABC:

от­ку­да

Ответ: 9 : 7 (или 7 : 9).

При­ве­дем ре­ше­ние п. б), пред­ло­жен­ное Оле­гом Цим­ба­ли­стом.

Пусть Тогда как внеш­ний угол тре­уголь­ни­ка BLD. По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка BHL имеем

За­ме­тим те­перь, что а По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка AHL имеем

Зна­чит,

При­ве­дем ещё одно ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим тогда по­это­му зна­чит, тре­уголь­ник LCD рав­но­бед­рен­ный.

б)  Пусть H  — точка пе­ре­се­че­ния DL с AB. Тогда

по­это­му по двум углам. От­сю­да

По­сколь­ку то Пусть BC  =  x, AB  =  3x. По тео­ре­ме о бис­сек­три­се от­ку­да на­хо­дим Тогда

Еще не­сколь­ко под­хо­дов из­ло­же­ны при ре­ше­нии за­да­ния 513277.

а)  Обо­зна­чим тогда

и тре­уголь­ник LCD  — рав­но­бед­рен­ный.

б)  Пусть DL пе­ре­се­ка­ет в точке Тогда

по­это­му тре­уголь­ни­ки HLB и LCB по­доб­ны по двум углам. От­сю­да

По­сколь­ку по­лу­ча­ем Пусть тогда AB  =  2x, BC  =  3x. По­сколь­ку AL : LC  =  AB : BC, на­хо­дим Сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, от­ку­да

Ответ: 21 : 4 (или 4 : 21).

При­ведём ре­ше­ние Алек­сандра Шев­ки­на (Москва).

а)  Пусть в тре­уголь­ни­ке ABC по­ло­ви­на угла B равна α (см. рис.). Тогда В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке BLD имеем: По свой­ству внеш­не­го угла тре­уголь­ни­ка по­это­му тре­уголь­ник DCL рав­но­бед­рен­ный что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть Так как на­хо­дим, что По свой­ству бис­сек­три­сы угла тре­уголь­ни­ка, по­это­му Тогда

В тре­уголь­ни­ке ABC по тео­ре­ме Ме­не­лая Так как по­лу­ча­ем, что тогда

При­ме­ча­ние.

Можно при­ве­сти ещё одно ре­ше­ние пунк­та б). Вос­поль­зу­ем­ся ре­зуль­та­та­ми, по­лу­чен­ны­ми выше:

Про­ведём и пусть В тре­уголь­ни­ке DCL: в по­доб­ном ему тре­уголь­ни­ке ECA: Зна­чит, Тогда по тео­ре­ме о про­пор­ци­о­наль­ных от­рез­ках:

При­ведём ре­ше­ние пунк­та б) Сер­гея Фе­фе­ло­ва (Москва).

Пусть СМ бис­сек­три­са ABC, тогда по свой­ству бис­сек­три­сы По­сколь­ку HL  — бис­сек­три­са ALM, тогда а зна­чит,