Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет более одного решения.
Если a < 1, то система не имеет решений. Пусть a = 1. Тогда имеем систему
Первому уравнению удовлетворяет только одна пара (2, −2), которая также удовлетворяет второму уравнению системы, поэтому при a = 1 система имеет единственное решение.
Пусть a > 1. Решения первого уравнения системы лежат на окружности с центром в точке (3a − 1, −2a) и радиусом 
Решения второго уравнения — точки прямой 
Следовательно, система имеет более одного решения тогда и только тогда, когда расстояние от центра окружности (3a − 1, −2a) до прямой 
меньше радиуса 
данной окружности. Получаем систему:
Следовательно, система имеет более одного решения при 
Ответ: (1; 2).
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Найдено множество значений a, корни, соответствующие единственному значению параметра не определены ИЛИ Найдены корни, но в множество значений a не включены одна или две граничные точки. | 3 |
| Найдено множество значений a, но не включены одна или две граничные точки. Корни, соответствующие единственному значению параметра не найдены. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет более одного решения.
Если a < −1, то система не имеет решений. Пусть a = −1. Тогда имеем систему
Первому уравнению удовлетворяет только одна пара (2, 2), которая также удовлетворяет второму уравнению системы, поэтому при a = −1 система имеет единственное решение.
Пусть a > −1. Решения первого уравнения системы лежат на окружности с центром в точке (−2a, − 3a − 1) и радиусом 
Решения второго уравнения — точки прямой 
Следовательно, система имеет более одного решения тогда и только тогда, когда расстояние от центра окружности (−2a, − 3a − 1) до прямой 
меньше радиуса 
данной окружности. Получаем систему:
Следовательно, система имеет более одного решения при 
Ответ: (−1; 0).
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Найдено множество значений a, корни, соответствующие единственному значению параметра не определены ИЛИ Найдены корни, но в множество значений a не включены одна или две граничные точки. | 3 |
| Найдено множество значений a, но не включены одна или две граничные точки. Корни, соответствующие единственному значению параметра не найдены. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
не имеет решений.
При 
система не имеет решений. При a = 2 получаем систему уравнений
Первому уравнению удовлетворяет только пара (9; 5), которая также удовлетворяет второму уравнению системы, поэтому при a = 2 система имеет единственное решение.
При 
первое уравнение задаёт окружность с центром в точке (5a – 1; 2a + 1), радиус которой равен 
Второе уравнение задаёт прямую 
Следовательно, система не имеет решений тогда и только тогда, когда расстояние от центра (5a – 1; 2a + 1) окружности до прямой 
больше радиуса 
окружности. Получаем:
Следовательно, система не имеет решений при 
Ответ: 
| Содержание критерия | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки a = 3 | 3 |
С помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений a:  или  возможно, с включением граничных точек | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
не имеет решений.
При 
система не имеет решений. При a = 1 получаем систему уравнений
Первому уравнению удовлетворяет только пара (2; –2), которая также удовлетворяет второму уравнению, поэтому при a = 1 система имеет единственное решение.
При 
первое уравнение задаёт окружность с центром в точке (3a − 1; −2a), радиус которой равен Второе уравнение задаёт прямую 
Следовательно, система не имеет решений тогда и только тогда, когда расстояние от центра (3a – 1; −2a) окружности до прямой 
больше радиуса окружности. Получаем:
Следовательно, система не имеет решений при 
Ответ: 
| Содержание критерия | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки a = 2 | 3 |
С помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений a:  или  возможно, с включением граничных точек | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх