По­сколь­ку алю­ми­ний и ни­кель вза­и­мо­за­ме­ня­е­мы, не­об­хо­ди­мо, чтобы в каж­дой об­ла­сти не­за­ви­си­мо от дру­гой было до­бы­то наи­боль­шее ко­ли­че­ство ме­тал­ла. По­это­му все ра­бо­чие пер­вой об­ла­сти долж­ны быть на­прав­ле­ны на до­бы­чу ни­ке­ля, ко­то­рый они до­бы­ва­ют втрое более эф­фек­тив­но, чем алю­ми­ний. За сутки ими будет до­бы­то 160 · 5 · 0,3  =  240 кг ни­ке­ля.

Пусть во вто­рой об­ла­сти алю­ми­ний до­бы­ва­ют y ра­бо­чих, а ни­кель  — 160 − y ра­бо­чих. Тогда за сутки они до­бу­дут кг алю­ми­ния и кг ни­ке­ля. Най­дем наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

для не­от­ри­ца­тель­ных целых y, не боль­ших 160. Имеем:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

При y мень­ших 80 про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, а при y боль­ших 80 про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на, по­это­му в точке 80 функ­ция до­сти­га­ет мак­си­му­ма рав­но­го наи­боль­ше­му зна­че­нию функ­ции на ис­сле­ду­е­мом про­ме­жут­ке.

Таким об­ра­зом, 80 ра­бо­чих вто­рой об­ла­сти сле­ду­ет на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния и 80  — на до­бы­чу ни­ке­ля. Они до­бу­дут 40 кг ме­тал­ла. Сов­мест­но ра­бо­чие пер­вой и вто­рой об­ла­сти до­бу­дут 280 кг ме­тал­ла.

Ответ: 280 кг.

При­ме­ча­ние.

Можно было обой­тись без про­из­вод­ной. На­пом­ним, что наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке до­сти­га­ет­ся в точке и равно До­ка­за­тель­ство можно по­лу­чить, на­при­мер, воз­ве­де­ни­ем в квад­рат.

В нашем слу­чае по­это­му ис­ко­мое наи­боль­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся в точке, где то есть при

При­ведём гео­мет­ри­че­ское ре­ше­ние.

Пусть во вто­рой об­ла­сти на до­бы­чу алю­ми­ния будет от­ве­де­но че­ло­ве­ко-часов, а на до­бы­чу ни­ке­ля  — че­ло­ве­ко-часов. Всего ра­бо­чих 160, ра­бо­тая по 5 часов, они вы­ра­ба­ты­ва­ют 800 че­ло­ве­ко-часов в сутки, по­это­му Для таких зна­че­ний пе­ре­мен­ных тре­бу­ет­ся опре­де­лить наи­боль­шее зна­че­ние ко­ли­че­ства до­бы­то­го ме­тал­ла Таким об­ра­зом, не­об­хо­ди­мо опре­де­лить наи­боль­шее зна­че­ние па­ра­мет­ра s, при ко­то­ром пря­мая, за­да­ва­е­мая урав­не­ни­ем будет иметь с окруж­но­стью общие точки, ле­жа­щие в пер­вой ко­ор­ди­нат­ной чет­вер­ти.

Из ри­сун­ка видно, что точка ка­са­ния яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ги­по­те­ну­зы рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Ко­ор­ди­на­ты точки ка­са­ния долж­ны удо­вле­тво­рять урав­не­нию окруж­но­сти. Тогда от­ку­да при

По­сколь­ку алю­ми­ний и ни­кель вза­и­мо­за­ме­ня­е­мы, не­об­хо­ди­мо, чтобы в каж­дой об­ла­сти не­за­ви­си­мо от дру­гой было до­бы­то наи­боль­шее ко­ли­че­ство ме­тал­ла. По­это­му всех ра­бо­чих пер­вой об­ла­сти не­об­хо­ди­мо на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния  — за еди­ни­цу вре­ме­ни они до­бы­ва­ют его в два раза боль­ше, чем ни­ке­ля. За сутки они до­бу­дут: кг алю­ми­ния.

Пусть во вто­рой об­ла­сти y че­ло­век за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния, за 5 часов они до­бу­дут кг. Тогда осталь­ные 250  − y че­ло­век за­ня­ты на до­бы­че ни­ке­ля, за 5 часов они до­бу­дут его кг.

Най­дем наи­боль­шее на зна­че­ние функ­ции для на­ту­раль­ных y, не пре­вос­хо­дя­щих 250. Имеем:

Най­ден­ная про­из­вод­ная равна нулю, если то есть при от­ку­да Изоб­ра­зим по­ве­де­ние функ­ции на ри­сун­ке. За­ме­тим, что f воз­рас­та­ет на [0; 125] и убы­ва­ет на [125; 250]. Сле­до­ва­тель­но, кг.

Тем самым, во вто­рой об­ла­сти 125 ра­бо­чих не­об­хо­ди­мо на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния, и 125  — на до­бы­чу ни­ке­ля. За смену они до­бу­дут 50 кг ме­тал­лов.

Общая масса ме­тал­лов со­став­ля­ет 250 + 50 = 300 (кг).

Ответ: 300 кг.