PDF-версии: 
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 построена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
Решение. а) В плоскости 
через точку К проведем прямую параллельно 
Пусть эта прямая пересекает диагональ 
в точке L. В плоскости основания 
проведем прямую 
пусть она пересекает сторону 
в точке P. Треугольник KPC1 — сечение, проходящее через точки К и С1 параллельно прямой BD1. Действительно, прямая BD1 параллельна плоскости сечения, так как параллельна лежащей в нем прямой KL.
В плоскости основания через точку A1 проведем прямую параллельно C1P. Пусть она пересекает D1В1 в точке М. По теореме Фалеса имеем: 
и 
поэтому 
Тогда 
Что и требовалось доказать.
б) Пусть теперь точка N — основание высоты 
прямоугольного треугольника 
— является проекцией наклонной PN на плоскость 
Тогда угол PNB1 — линейный угол искомого двугранного угла. Имеем:
Тем самым, 
Ответ: б) 
Приведём другое решение.
б) Уравнение плоскости — ax + by + cz + d = 0.
Приведём координаты точек C1(0; 4; 4), K(4; 4; 3), 
Подставив координаты указанных точек в уравнение, получим систему трёх уравнений
Вычтем из первого уравнения второе, из первого третье, из второго третье, получим следующую эквивалентную систему уравнений:
Таким образом, вектор нормали плоскости имеет вид 
Откуда имеем: a = 1, b = 3, c = 4. Получаем уравнение плоскости: x + 3y + 4z + d = 0. Определим теперь коэффициент d, для этого подставим в это уравнение координаты точки C1:
Имеем: x + 3y + 4z – 28 = 0 — уравнение плоскости PKC1. Координаты вектора нормали к плоскости 
Координаты вектора нормали к плоскости 
Обозначим угол между плоскостями 
и 
как 
Найдём косинус угла между плоскостями 
и 
Откуда 
Может также быть получен ответ и через арктангенс: 
Приведём идею решения Евгения Матвеева.
Введём систему координат с центром в точке 
Уравнение плоскости сечения C1PK в отрезках 
Нормальный вектор к этой плоскости: 
нормальный вектор к плоскости BB1C1C: 
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
В прямоугольном треугольнике B1C1K имеем 
Через точки K и C1 проведена плоскость 
параллельная прямой BD1.
где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
В прямоугольном треугольнике B1C1K имеем 
проходит через середину ребра A1B1.
поэтому 
Тогда 
