Рас­смот­рим все воз­мож­ные ис­пы­та­ния, при­во­дя­щие на каком-то шаге к сумме 4 очка:

где на месте x может быть любое число от 1 до 6, а на месте мно­го­то­чия может сто­ять сколь­ко угод­но (оди­на­ко­во для всех ис­пы­та­ний) х. Мак­си­маль­ное число брос­ков равно че­ты­рем, по­это­му под­хо­дят толь­ко ва­ри­ан­ты 1111, 112x, 121x, 13хх, 211х, 22хх, 31хx, 4ххх, таких ва­ри­ан­тов

Усло­вию, что был сде­лан ровно один бро­сок, удо­вле­тво­ря­ет лишь слу­чай 4ххx, таких ва­ри­ан­тов 216. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна Округ­ляя до сотых, по­лу­ча­ем 0,63.

Ответ: 0,63.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть со­бы­тие A со­сто­ит в том, сумма всех вы­пав­ших в ре­зуль­та­те од­но­го или не­сколь­ких бро­са­ний очков равна 4, а со­бы­тие B со­сто­ит в том, что был сде­лан один бро­сок. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия В при усло­вии, что со­бы­тие А на­сту­пи­ло, опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле услов­ной ве­ро­ят­но­сти: Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния со­бы­тий A и B, то есть со­бы­тия, в ко­то­ром при пер­вом бро­са­нии кости вы­па­ло 4 очка, равна

Со­бы­тие А яв­ля­ет­ся сум­мой не­сов­мест­ных со­бы­тий, со­сто­я­щих в том, что на ку­би­ке вы­па­да­ло сле­ду­ю­щее ко­ли­че­ство очков:

Ве­ро­ят­ность того, что в сумме вы­па­ло 4 очка, равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

Тогда для ис­ко­мой ве­ро­ят­но­сти по­лу­ча­ем:

Ответ: 0,63.

Это же ре­ше­ние можно за­пи­сать иначе.

Пусть со­бы­тие A со­сто­ит в том, сумма всех вы­пав­ших в ре­зуль­та­те од­но­го или не­сколь­ких бро­са­ний очков равна 4. По­стро­им де­ре­во ва­ри­ан­тов, при­во­дя­щих к этому со­бы­тию. Ис­хо­ды, при­во­дя­щие к этому со­бы­тию, от­ме­че­ны оран­же­вым цве­том.

Най­дем ве­ро­ят­ность P(A):

Пусть со­бы­тие B со­сто­ит в том, что был сде­лан один бро­сок. Тогда ис­ко­мая ве­ро­ят­ность P(B|A) со­бы­тия В при усло­вии, что со­бы­тие А на­сту­пи­ло (ве­ро­ят­ность того, что был сде­лан один бро­сок, при усло­вии что вы­па­ло 4 очка), опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле услов­ной ве­ро­ят­но­сти Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния со­бы­тий B и A, то есть со­бы­тия, в ко­то­ром при пер­вом бро­са­нии кости вы­па­ло 4 очка (вы­де­ле­но са­ла­то­вым цве­том), равна  Тогда для ис­ко­мой ве­ро­ят­но­сти по­лу­ча­ем:

Округ­ляя до сотых, по­лу­ча­ем 0,63.

Ответ: 0,63.

При­ме­ча­ние.

Лю­бо­зна­тель­ный чи­та­тель на­вер­ня­ка об­ра­тит вни­ма­ние на раз­ли­чие в спо­со­бах ре­ше­ния этой за­да­чи и за­да­чи 508762. В за­да­че 508762 под­счи­ты­ва­лось общее ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов, с по­мо­щью ко­то­рых можно по­лу­чить за­дан­ную сумму очков, а затем ко­ли­че­ство под­хо­дя­щих ва­ри­ан­тов де­ли­лось на общее ко­ли­че­ство. В дан­ной за­да­че общее ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов равно 8: 4, Под­хо­дя­щий ва­ри­ант толь­ко один. Од­на­ко эти ва­ри­ан­ты не яв­ля­ют­ся рав­но­ве­ро­ят­ны­ми, по­это­му нель­зя де­лить ко­ли­че­ство под­хо­дя­щих ва­ри­ан­тов на общее ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов, а не­об­хо­ди­мо рас­счи­ты­вать ве­ро­ят­но­сти ва­ри­ан­тов и ис­поль­зо­вать фор­му­лу услов­ной ве­ро­ят­но­сти, при­ве­ден­ную в ре­ше­нии дан­ной за­да­чи.

При­ме­ча­ние Решу ЕГЭ.

Раз­ра­бот­чи­ки ЕГЭ фор­му­ли­ро­ва­ли это за­да­ние сле­ду­ю­щим об­ра­зом: «Иг­раль­ную кость бро­си­ли один или не­сколь­ко раз. Ока­за­лось, что сумма всех вы­пав­ших очков равна 4. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что был сде­лан один бро­сок? Ответ округ­ли­те до сотых». Такая фор­му­ли­ров­ка не­кор­рект­на.

Дей­стви­тель­но, усло­вие «кость ки­да­ли це­ле­на­прав­лен­но, пока сумма ста­нет не мень­ше 4» от­ли­ча­ет­ся от усло­вия «стали бро­сать кость, после ка­ко­го-то брос­ка оста­но­ви­лись, под­счи­та­ли вы­пав­шие суммы, и ока­за­лось, что сумма очков равна 4». Про­ил­лю­стри­ру­ем ее сле­ду­ю­щим об­ра­зом.

Если 1000 че­ло­век бро­са­ют кости, пока в сумме не ста­нет не мень­ше 4 очков, то среди тех ис­хо­дов, где сумма по­лу­чи­лась ровно 4, при­мер­но в 63% слу­ча­ев (число из от­ве­та к за­да­че) был сде­лан один бро­сок.

Но если по­про­сить 1000 че­ло­век сколь­ко-то раз бро­сить кость, за­пи­сы­вая вы­пав­шие очки, а в какой-то мо­мент оста­но­вить­ся и под­счи­тать сумму вы­пав­ших очков, то ока­жет­ся, что для ис­хо­дов с сум­мой 4 очка один бро­сок был сде­лан да­ле­ко не в 63% слу­ча­ев. Пре­жде всего это будет за­ви­сеть от того, сколь­ко раз в сред­нем люди решат бро­сить кости. На­при­мер, 300 че­ло­век за­хо­чет бро­сить кость всего один раз, 400 че­ло­век  — два раза, 150  — три раза, 50  — че­ты­ре раза, а 100 че­ло­век  — боль­ше че­ты­рех раз. Зная такое ста­ти­сти­че­ское рас­пре­де­ле­ние, можно было бы найти ис­ко­мую ве­ро­ят­ность. Но оно не­из­вест­но.

Бла­го­да­рим Ев­ге­ния Обу­хо­ва из Вены, об­на­ру­жив­ше­го эту ошиб­ку. Мы со­об­щи­ли о ней ав­то­рам за­да­ния и ис­пра­ви­ли фор­му­ли­ров­ку.

Рас­смот­рим все воз­мож­ные ис­пы­та­ния, при­во­дя­щие на каком-⁠то шаге к сумме 3 очка:

где на месте x может быть любое число от 1 до 6, а на месте мно­го­то­чия может сто­ять сколь­ко угод­но (оди­на­ко­во для всех ис­пы­та­ний) х. Мак­си­маль­ное число брос­ков равно трем, по­это­му под­хо­дят толь­ко ва­ри­ан­ты 111, 12x, 21x, 3хх, таких ва­ри­ан­тов

Усло­вию, что были сде­ла­ны ровно два брос­ка, удо­вле­тво­ря­ют слу­чаи 12x и 21x, таких ва­ри­ан­тов 12. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна Округ­ляя до сотых, по­лу­ча­ем 0,24.

Ответ: 0,24.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Изоб­ра­зим с по­мо­щью де­ре­ва воз­мож­ные ис­хо­ды. Зелёным цве­том от­ме­че­ны ис­хо­ды, удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­вию «сумма вы­пав­ших очков равна 3». Оран­же­вым цве­том от­ме­че­ны ис­хо­ды, удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­вию «сумма очков, вы­пав­ших ровно за два брос­ка, равна 3».

Ве­ро­ят­ность со­бы­тия «сде­ла­но два брос­ка» при усло­вии «в сумме вы­па­ло 3 очка» равна:

Округ­ляя до сотых, по­лу­ча­ем 0,24.

Ответ: 0,24.

Рас­смот­рим все воз­мож­ные ис­пы­та­ния, при­во­дя­щие на каком-то шаге к сумме 4 очка:

где на месте x может быть любое число от 1 до 6, а на месте мно­го­то­чия может сто­ять сколь­ко угод­но (оди­на­ко­во для всех ис­пы­та­ний) х. Мак­си­маль­ное число брос­ков равно че­ты­рем, по­это­му под­хо­дят толь­ко ва­ри­ан­ты 1111, 112x, 121x, 13хх, 211х, 22хх, 31хx, 4ххх, таких ва­ри­ан­тов

Усло­вию, что были сде­ла­ны ровно три брос­ка, удо­вле­тво­ря­ют слу­чаи 112х, 121x и 211х, таких ва­ри­ан­тов 18. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна Округ­ляя до сотых, по­лу­ча­ем 0,05.

Ответ: 0,05.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть со­бы­тие A со­сто­ит в том, сумма всех вы­пав­ших в ре­зуль­та­те од­но­го или не­сколь­ких бро­са­ний очков равна 4. По­стро­им де­ре­во ва­ри­ан­тов, при­во­дя­щих к этому со­бы­тию. Ис­хо­ды при­во­дя­щие к этому со­бы­тию вы­де­ле­ны оран­же­вым цве­том.

Най­дем ве­ро­ят­ность P(A):

Пусть со­бы­тие B со­сто­ит в том, что было сде­ла­но три брос­ка. Тогда ис­ко­мая ве­ро­ят­ность P(B|A) со­бы­тия В при усло­вии, что со­бы­тие А на­сту­пи­ло (ве­ро­ят­ность того, что было сде­ла­но три брос­ка, при усло­вии что вы­па­ло 4 очка) опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле услов­ной ве­ро­ят­но­сти Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния со­бы­тий B и A, то есть со­бы­тия, в ко­то­ром 4 очка вы­па­ло за три брос­ка (вы­де­ле­но са­ла­то­вым цве­том), равна Тогда для ис­ко­мой ве­ро­ят­но­сти по­лу­ча­ем:

Ответ про­сят округ­лить до сотых.

Ответ: 0,05.

Рас­смот­рим все воз­мож­ные ис­пы­та­ния, при­во­дя­щие на каком-то шаге к сумме 3 очка:

где на месте x может быть любое число от 1 до 6, а на месте мно­го­то­чия может сто­ять сколь­ко угод­но (оди­на­ко­во для всех ис­пы­та­ний) х. Мак­си­маль­ное число брос­ков равно трем, по­это­му под­хо­дят толь­ко ва­ри­ан­ты 111, 12x, 21x, 3хх, таких ва­ри­ан­тов

Усло­вию, что был сде­лан ровно один бро­сок, удо­вле­тво­ря­ет лишь слу­чай 3хх, таких ва­ри­ан­тов 36. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна Округ­ляя до сотых, по­лу­ча­ем 0,73.

Ответ: 0,73.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть со­бы­тие A со­сто­ит в том, сумма всех вы­пав­ших в ре­зуль­та­те од­но­го или не­сколь­ких бро­са­ний очков равна 3. По­стро­им де­ре­во ва­ри­ан­тов, при­во­дя­щих к этому со­бы­тию. Ис­хо­ды при­во­дя­щие к этому со­бы­тию от­ме­че­ны оран­же­вым цве­том.

Най­дем ве­ро­ят­ность P(A):

Пусть со­бы­тие B со­сто­ит в том, что был сде­лан один бро­сок. Тогда ис­ко­мая ве­ро­ят­ность P(B|A) со­бы­тия В при усло­вии, что со­бы­тие А на­сту­пи­ло (ве­ро­ят­ность того, что был сде­лан один бро­сок, при усло­вии что вы­па­ло 3 очка) опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле услов­ной ве­ро­ят­но­сти Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния со­бы­тий B и A, то есть со­бы­тия, в ко­то­ром при пер­вом бро­са­нии кости вы­па­ло 3 очка (вы­де­ле­но са­ла­то­вым цве­том), равна Тогда для ис­ко­мой ве­ро­ят­но­сти по­лу­ча­ем:

Округ­ляя до сотых, по­лу­ча­ем 0,73.

Ответ: 0,73.

Рас­смот­рим все воз­мож­ные ис­пы­та­ния, при­во­дя­щие на каком-то шаге к сумме 3 очка:

где на месте x может быть любое число от 1 до 6, а на месте мно­го­то­чия может сто­ять сколь­ко угод­но (оди­на­ко­во для всех ис­пы­та­ний) х. Мак­си­маль­ное число брос­ков равно трем, по­это­му под­хо­дят толь­ко ва­ри­ан­ты 111, 12x, 21x, 3хх, таких ва­ри­ан­тов

Усло­вию, что были сде­ла­ны ровно три брос­ка, удо­вле­тво­ря­ет лишь слу­чай 111, такой ва­ри­ант один. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна Округ­ляя до сотых, по­лу­ча­ем 0,02.

Ответ: 0,02.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть со­бы­тие A со­сто­ит в том, сумма всех вы­пав­ших в ре­зуль­та­те од­но­го или не­сколь­ких бро­са­ний очков равна 3. По­стро­им де­ре­во ва­ри­ан­тов, при­во­дя­щих к этому со­бы­тию. Ис­хо­ды при­во­дя­щие к этому со­бы­тию от­ме­че­ны оран­же­вым цве­том.

Най­дем ве­ро­ят­ность P(A):

Пусть со­бы­тие B со­сто­ит в том, что было сде­ла­но три брос­ка. Тогда ис­ко­мая ве­ро­ят­ность P(B|A) со­бы­тия В при усло­вии, что со­бы­тие А на­сту­пи­ло (ве­ро­ят­ность того, что было сде­ла­но три брос­ка, при усло­вии что сум­мар­но вы­па­ло 3 очка) опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле услов­ной ве­ро­ят­но­сти Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния со­бы­тий B и A, то есть со­бы­тия, в ко­то­ром при тре­тьем бро­са­нии кости сум­мар­но вы­па­ло 3 очка (вы­де­ле­но са­ла­то­вым цве­том), равна Тогда для ис­ко­мой ве­ро­ят­но­сти по­лу­ча­ем:

Округ­ляя до сотых, по­лу­ча­ем 0,02.

Ответ: 0,02.