ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д8 C1 № 508178 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 103

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Введение вспомогательного угла, Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

Дано уравнение $косинус 2x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 2x=1.$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите его корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 4 Пи ;5,5 Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Последовательно получаем:

$косинус 2x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 2x=1 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус 2x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби косинус 2x минус косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби синус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно синус левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$ $косинус 2x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 2x=1 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус 2x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби косинус 2x минус косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби синус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно синус левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка 2x=2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка 2x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z. конец совокупности .$ $равносильно совокупность выражений новая строка 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка 2x=2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка 2x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z. конец совокупности .$ $равносильно совокупность выражений новая строка 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка 2x=2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка 2x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z. конец совокупности .$

Б)  Отбор корней произведем с помощью единичной окружности.

$x_1=4 Пи ;x_2=5 Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 14 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;x_3=5 Пи .$

Ответ: а) $Пи n,n принадлежит Z; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z;$ б) $4 Пи ; дробь: числитель: 14 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;5 Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 508178: 511230 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 103

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип Д8 C1 № 511230 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 124

Классификатор алгебры: Однородные тригонометрические уравнения, Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на тангенс или котангенс

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Введение вспомогательного угла, Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

Дано уравнение $2 косинус в квадрате x минус 2 синус 2x плюс 1=0.$

а)  Решите уравнение.

б)  Укажите его корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Последовательно получаем:

$2 косинус в квадрате x минус 2 синус 2x плюс 1=0 равносильно$

$равносильно 2 косинус в квадрате x минус 4 синус x умножить на косинус x плюс синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x=0 равносильно$

$равносильно синус в квадрате x минус 4 синус x умножить на косинус x плюс 3 косинус в квадрате x=0 равносильно$

$равносильно тангенс в квадрате }x минус 4 тангенс x плюс 3=0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка тангенс x=1 , новая строка тангенс x=3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= арктангенс 3 плюс Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

б)  Отбор корней сделаем с помощью единичной окружности.

$x_1= Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;x_2= Пи плюс арктангенс 3.$

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ; арктангенс 3 плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; Пи плюс арктангенс 3.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 508178: 511230 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 124

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе